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Dans cet article, tu apprendras comment approximer des fonctionsa> en un point donné, ou localement, en utilisant des fonctions linéairesa> pour faire ces approximations. Les fonctions linéaires étant le type de fonction le plus facile à utiliser, elles constituent un outil d'approximation puissant. Tu apprendras également un concept connexe, les différentielles, afin de pouvoir utiliser les approximations linéaires pour estimer la quantité de changement d'une fonction à la suite d'un changement de sa valeur d'entrée.
Définitions de l'approximation linéaire et des différentielles
Que sont l'approximation linéaire et les différentielles ?
Définition et équation de l'approximation linéaire
L'approximation linéaire est une méthode qui utilise la ligne tangente à une courbe pour approximer un autre point de cette courbe. C'est une excellente méthode pour estimer les valeurs d'une fonction, \N( f(x) \N), tant que \N( x \N) est proche de \N( x = a \N).
Étant donné une fonction différentiable, f(x), tu peux trouver sa ligne tangente à f(x = a). L'équation de cette ligne tangente, \NL(x) \Nest
\N[ L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \N]
et on l'appelle l'approximation linéaire, ou l'approximation de la ligne tangente de \( f(x) \N) à \( x = a \N). Elle est également connue sous le nom de linéarisation de la fonction \N( f(x) \N) à \N( x = a \N).
Le graphique ci-dessous permet de visualiser le concept de proximité. Tu remarqueras que plus tu zoomes, plus la fonction ressemble à sa droite tangente.
Figure 1. L'approximation linéaire de la fonction, \N( f(x) \N), à \N( x = a \N).
L'idée sous-jacente est que, bien qu'il puisse être difficile de calculer les valeurs proches de la fonction, il peut être beaucoup plus simple d'effectuer l'approximation linéaire.
Étapes du calcul d'une approximation linéaire
L'exemple suivant décrit les étapes de base utilisées pour effectuer des approximations linéaires et démontre une utilisation pratique de celles-ci.
Approche \( f(\theta) = \sin(\theta) \) à \( \theta = 0 \).
Solution:
- Utilise la valeur donnée pour \N( a \N) à la place de \N( x \N) pour trouver \N( f(a) \N). Tu obtiens ainsi la paire ordonnée \N( (a, f(a)) \N).
- Dans le contexte de ce problème, tu dois résoudre \Nf(0).\N[ f(0) = \Nsin(0) = 0 \N]
- La paire ordonnée est \N( (0, 0) \N).
- Dans le contexte de ce problème, tu dois résoudre \Nf(0).\N[ f(0) = \Nsin(0) = 0 \N]
- Prends la dérivée de la fonction donnée, \Nf(x) \Npour trouver la pente de la ligne tangente.
- Dans le contexte de ce problème, tu dois trouver la dérivée de \Nf(\Ntheta) \N.\N[ f'(\Ntheta) = \Ncos(\Ntheta) \N].
- Résous la dérivée au point \N( x = a \N).
- Dans le contexte de ce problème, tu dois introduire la valeur de \N( \Ntheta \N) pour résoudre la dérivée en ce point.\N[ \Nbegin{align}f'(\Ntheta) &= \Ncos(\Ntheta) \Nf'(0) &= \Ncos(0) \Nf'(0) &= 1\Nend{align} \]
- Insère les valeurs de \( f(a) \N), \( f'(a) \N), et \( a \N) dans l'équation :\N- L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \N- L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \N-.
- Dans le contexte de ce problème, tu dois introduire la valeur de \N( \Ntheta \N) et les valeurs que tu as obtenues aux étapes \N( 1-3 \N) dans l'équation d'approximation linéaire.\[ \begin{align}L(x) &= f(a) + f'(a) (x - a) \\L(\theta)&= f(0) + f'(0) (\theta - 0) \\&= 0 + 1 (\theta - 0) \\\mathbf{L(\theta)} &= \mathbf{\theta}\end{align} \]
Cette approximation linéaire est régulièrement utilisée dans le domaine de l'optique pour simplifier les formules. Elle est également utilisée pour décrire le mouvement d'un pendule et les vibrations d'une corde.
Définition et équation différentielle
Pour pouvoir utiliser les approximations linéaires afin d'estimer l'ampleur des variations d'une fonction, tu dois comprendre le concept des différentielles ; elles te fournissent une méthode pour estimer l'ampleur des variations d'une fonction à la suite d'un petit changement de ses valeurs d'entrée.
Étant donné une fonction différentiable, \( y = f(x) \), laisse \( \mathrm{d}x \) être une variable indépendante qui peut être n'importe quel nombre réel non nul. Définis la variable dépendante \( \mathrm{d}y \) par l'équation :
\[ \mathrm{d}y = f'(x) ~\mathrm{d}x. \]
Tu appelles les expressions \( \mathrm{d}y \N) et \( \mathrm{d}x \N) des différentielles.
- Remarque que \N( \Nmathrm{d}y \N) est une fonction de \N( x \N) et de \N( \Nmathrm{d}x \N).
Si tu divises les deux côtés de l'équation de la définition par \N( \Mathrm{d}x \N), tu obtiens :
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f'(x) \N]
c'est ainsi que tu as l'habitude de désigner une dérivée. Cette équation est donc appelée forme différentielle.
Note que si on te donne juste une fonction différentiable \( f(x) \N), alors les différentielles deviennent \N( \Mathrm{d}f \N) et \N( \Mathrm{d}x \N). Essentiellement, \N( \Mathrm{d}y \N) est remplacé par \N( \Mathrm{d}f \N) dans l'équation :
\[ \mathrm{d}f = f'(x) ~\mathrm{d}x \]
Lorsque tu as commencé à apprendre les dérivées, tu as utilisé la notation de Leibniz \( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \) pour représenter la dérivée de \( y \N) par rapport à \( x \N). Bien que tu aies utilisé les expressions \( \mathrm{d}y \) et \( \mathrm{d}x \) dans cette notation, elles n'avaient pas encore de signification propre.
Compte tenu de la définition des différentielles ci-dessus, tu connais maintenant la signification des expressions \( \mathrm{d}y \) et \( \mathrm{d}x \).
Approximation de la ligne tangente
Rappelle-toi de l'article sur les lignes tangentes que la ligne tangente à la courbe d'une fonction, \N( f \N), qui est différentiable en un point, \N( a \N), est donnée par l'équation :
\N[ y = f(a) + f'(a) (x - a). \N]
Par exemple, considérons la fonction différentiable :
\[ f(x) = \frac{1}{x}, \]
où \N( x = a = 3 \N).
- Quelle est la ligne tangente à la courbe à \N( a = 3 \N), et quelle est la ligne tangente à la courbe à \N( a = 3 \N) ?
- Peut-on l'utiliser pour calculer approximativement la valeur de f(x) lorsque a = 3.1 ?
Solution:
- Quelle est la ligne tangente à la courbe à \N( a = 3 \N) ?
- Trouve \Nf(a) \N.\N[ f(a) = f(3) = \Nfrac{1}{3} \N].
- Trouve la dérivée de \( f(x)).\[ f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} \]
- Insère la valeur de \N( a \N) pour résoudre la dérivée en ce point.\N[ \NBeggin{align}f'(a) &= -\frac{1}{a^{2}} \\N-f'(3) &= -\frac{1}{(3)^{2}} \\N-&= -\frac{1}{9}\N- end{align} \]
- Insère la valeur de \N( a \N) et les valeurs que tu as obtenues aux étapes \N( 1-3 \N) dans l'équation de la ligne tangente.\N[ \Nbegin{align}y &= f(a) + f'(a) (x - a) \N\Nmathbf{y} &= \Nmathbf{\Nfrac{1}{3} - \frac{1}{9} (x - 3)}\end{align} \]
- Est-ce que la ligne tangente peut être utilisée pour calculer approximativement la valeur de \( f(x) \N) lorsque \( a = 3.1 \N) ?
- Utilise la droite tangente que tu as trouvée dans la partie A pour estimer la valeur de la fonction à \N( a = 3,1 \N).\N[ \Nbut{align}y &= \Nfrac{1}{3} - \frac{1}{9} (3,1 - 3) \N-&\N- environ 0,3222\N- \Nend{align} \]
- Calcule la valeur de \Nf(3.1) \Nà l'aide de la fonction donnée.\N[ f(3.1) = \frac{1}{3.1} \Napprox 0.3226 \N]
- Compare les deux valeurs obtenues aux étapes \(1-2\). Utilise les graphiques ci-dessous pour visualiser la comparaison.Comme la différence entre l'approximation et les valeurs réelles est minime, \[ y \approx 0.3222 \text{ vs. } f(x) \approx 0.3226 \] tu peux dire que la ligne tangente peut être utilisée pour approximer la valeur de \( f(x) \) lorsque \( a = 3.1 \N).
Figure 2. La ligne tangente à la courbe de \( f(x) = \frac{1}{x} \Nà \N x = 3 \N te donne une bonne approximation de \N f(x) \N lorsque \N x \N est proche de \N 3 \N.
Figure 3. Lorsque \N- x = 3,1 \N-, la valeur de \N- y \N- sur la ligne tangente à la courbe de \N- f(x) = \Nfrac{1}{x} \N- est approximativement de \N- y \N- sur la ligne tangente à la courbe de \N- f(x) = \N-. \) est approximativement de 0,3222 ; la valeur réelle de \Nf(3,1) est de \Nfrac{1}{3,1} \Napprox 0,3226.
Cet exemple montre qu'en général, pour une fonction différentiable, l'équation de la droite tangente à f(x) peut être utilisée pour estimer f(x) pour des valeurs de f(x) proches de a.
Par conséquent ,
\[ f(x) \approx f(a) + f'(a) (x - a), \text{ for } x \text{ near } a, \]
et la fonction linéaire :
\[ L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \]
est l'approximation linéaire de \( f(x) \N) à \( x = a \N).
Mais qu'est-ce qui est considéré comme "proche" de \N( a \N) ?
La réponse courte est : cela dépend.
L'approximation dans le calcul
L'approximation est quelque chose que tu fais souvent en calcul. Tu utilises des approximations quand tu :
prendre des limites,
trouver des dérivées, et
calculer des intégrales,
pour n'en citer que quelques-unes.
Comme tu l'as peut-être deviné dans l'exemple ci-dessus, plus tu t'éloignes de \( x =a \), plus ton approximation sera mauvaise.
Mais encore une fois, quelle distance est trop grande ?
Et encore une fois, la réponse : cela dépend. Cela dépend à la fois de la fonction et de la valeur de \( x = a \) que tu utilises. En fin de compte, il n'y a souvent pas de moyen facile de prédire à quelle distance de \N( x = a \N) tu peux t'éloigner tout en ayant une "bonne" approximation linéaire.
Différence entre l'approximation linéaire et les différentielles
Pour avoir une bonne idée de la différence entre l'approximation linéaire et les différentielles, tu dois relier les deux concepts.
Supposons que tu aies une fonction, \( f(x) \N), qui est différentiable au point \N( a \N). Disons que l'entrée, \N( x \N), change d'une petite quantité appelée \N( \Nmathrm{d}x \N) (on pourrait aussi l'appeler \N( \NDelta x \N)).
Ce qui t'intéresse, c'est de savoir de combien la sortie, \Ny \Nest modifiée en fonction de ce minuscule changement de \Nx \N.
- Si \N- x \N passe de \N- a \N à \N- a + \Nmathrm{d}x \N-, alors le changement total de \N- x \N est \N- \N- \Nmathrm{d}x \N-, et le changement de \N- y \N- est donné par l'équation :\N[ \NDelta y = f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a). \N-].
- So, if \( \mathrm{d}x \) is small,\[ \begin{align}f(a + \mathrm{d}x) &\approx L(a + \mathrm{d}x) \\&= f(a) + f'(a) (a + \mathrm{d}x - a).\end{align} \]
- En soustrayant \Nf(a) \Ndes deux côtés,\N[ \Nbegin{align}f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) &\Napprox L(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) \N&= f'(a) \Nmathrm{d}x.\Nend{align} \]
En d'autres termes, [...]
- le changement réel de la fonction, \Nf(x) \N(si \Nf(x) augmente de \Nf(a) à \Nf(a + \Nmathrm{d}x)) est approximativement la différence entre \Nf(L(a + \Nmathrm{d}x) \Net \Nf(a) \N,
- où \NL(x) \Nest l'approximation linéaire de \Nf(x) \Nà \NX = a \N.
- Par la définition de \N- L(x) \N-, cette différence est égale à \N- f'(a) \Nmathrm{d}x \N-.
En résumé :
\N-\NDelta y &= f(a + \mathrm{d}x) - f(a) \N&\Napprox L(a + \mathrm{d}x) - f(a) \N&= f'(a) \mathrm{d}x \N&= \mathrm{d}y\Nend{align} \]
Cela signifie que tu peux utiliser la différentielle, \N( \Mathrm{d}y = f'(a) \Mathrm{d}x \N), pour approximer le changement de \N( y \N) si \N( x \N) augmente de \N( x = a \N) à \N( x = a + \Mathrm{d}x \N). Le graphique ci-dessous illustre cela en détail.
Figure 4. Tu utilises la différentielle \N( \Nmathrm{d}y = f'(a) \Nmathrm{d}x \N) pour calculer approximativement le changement réel de \N( y \N) si \N( x \N) passe de \N( a \N) à \N( a + \Nmathrm{d}x \N).
Alors, quelle est la différence entre les approximations linéaires et les différentielles ?
Pour faire simple :
Les approximations linéaires donnent une estimation de la valeur d'une fonction différentiable en un point spécifique en utilisant la ligne tangente à la courbe de la fonction en ce point.
Les différentielles donnent une approximation du changement de la variable dépendante (généralement \N( y \N)) de la fonction au même point où l'approximation linéaire est calculée.
Prenons un exemple.
Approximation de la variation avec les différentielles
Étant donné la fonction :
\[y = x^{2} + 2x, \N].
calcule
- \N( \NDelta y \N) et
- \N( \Nmathrm{d}y \N)
à \( x = 3 \r) si \( \mathrm{d}x = 0.1 \r).
Solution:
- \N- \N( \NDelta y \N) est le changement réel de \N( y \N) si \N( x \N) passe de \N( 3 \N) à \N( 3,1 \N). Pour trouver le changement réel, utilise la formule suivante \N( \NDelta y = f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) \N).\N[ \Nbegin{align}\NDelta y &= f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) \N&= f(3.1) - f(3) \N&= \Nleft( (3.1)^{2} + 2(3.1) \right) - \left( 3^{2} + 2(3) \Ndroit) \N&= 15.81 - 15 \N&= 0.81\Nend{align} \]
- \N- \N( \Nmathrm{d}y \N) est le changement approximatif de \N( y \N). Pour trouver le changement approximatif, utilise la formule : \N( \Nmathrm{d}y = f'(x) ~\Nmathrm{d}x \N).
- Trouve la dérivée de \( f(x) \N).\N[ f'(x) = 2x + 2 \N]
- Use the differential formula to solve for the approximate change.\[ \begin{align}\mathrm{d}y &= f'(x) ~\mathrm{d}x \\&= f'(3) ~\mathrm{d}x \\&= (2(3) + 2)(0.1) \\&= 0.8\end{align} \]
Comme tu peux le voir, le calcul à l'aide des différentielles est plus simple que le calcul des valeurs réelles, et les résultats des deux sont assez similaires, surtout lorsque la valeur de \( \mathrm{d}x \rmathrm{d}x \rmathrm{d}x \rmathrm{d}x \rmathrm{d}) diminue.
Exemples d'approximations linéaires et de différentielles
Essaie ces exemples !
Approximation linéaire d'une fonction
Approche la fonction :
\N[ f(x) = (1 + x)^{n} \N]
à \( x = 0 \N). Utilise ensuite l'approximation pour estimer \N( 1,01^{2} \N).
Solution:
- Utilise la valeur donnée pour \N( a \N) à la place de \N( x \N) pour trouver \N( f(a) \N). Tu obtiens ainsi la paire ordonnée \N( (a, f(a)) \N).
- Dans le contexte de ce problème, tu dois résoudre \Nf(0).\Nf(0) = (1 + 0)^{n} = 1 \N]
- La paire ordonnée est \N( (0, 1) \N).
- Dans le contexte de ce problème, tu dois résoudre \Nf(0).\Nf(0) = (1 + 0)^{n} = 1 \N]
- Prends la dérivée de la fonction donnée, \Nf(x) \Npour trouver la pente de la ligne tangente.
- Dans le contexte de ce problème, tu dois trouver la dérivée de f(x).[f'(x) = n(1 + x)^{n-1}]
- Résous la dérivée au point \N( x = a \N).
- Dans le contexte de ce problème, tu dois introduire la valeur de \N( x \N) pour résoudre la dérivée à ce point.\N[ \NBegin{align}f'(x) &= n(1 + x)^{n-1} \N{f'(0) &= n(1 + 0)^{n-1} \N{f'(0) &= n\Nend{align} \]
- Insère les valeurs de \( f(a) \N), \( f'(a) \N), et \( a \N) dans l'équation :\N- L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \N.
- Dans le contexte de ce problème, tu dois introduire la valeur de \N( x \N) et les valeurs que tu as obtenues aux étapes \N( 1-3 \N) dans l'équation d'approximation linéaire.\[ \begin{align}L(x) &= f(a) + f'(a) (x - a) \\&= f(0) + f'(0) (x - 0) \\&= 1 + n (x - 0) \\\mathbf{L(x)} &= \mathbf{1 + nx}\end{align} \]
- Approche de \N( 1.01^{2}) en évaluant \N( L(0.01)) à \N( n = 2).\N[ \N-begin{align}(1.01)^{2} &= f(1.01) \\N-&\N-approx L(1.01) \N-&= 1 + n(x - 0) \N-&= 1 + 2(0.01) \N-\N- mathbf{(1.01)^{2}} &= \N- mathbf{1.02}\N- end{align} \]
Maintenant, un exemple de différentielles.
Calcul des différentielles
Trouve \N( \Nmathrm{d}y \N) et évalue la fonction suivante à \N( x = 3 \N) et \N( \Nmathrm{d}x = 0,1 \N).
\N[ y = \Ncos(x) \N]
Solution:
- Trouve la dérivée de \( f(x) \N).\N[ f'(x) = -\Nsin(x) \N]
- Insère la dérivée dans la formule différentielle.\N-[ \Nbegin{align}\Nmathrm{d}y &= f'(x) ~\Nmathrm{d}x \N\Nmathbf{\Nmathrm{d}y} &= \Nmathbf{\N-\sin(x) ~\Nmathrm{d}x}\Nend{align} \]
- Insère les valeurs données de \( x \N) et \( \mathrm{d}x \N) et simplifie.\N[ \Nbegin{align}\mathrm{d}y &= -\sin(3)(0.1) \N\Nmathbf{\Nmathrm{d}y} &= \Nmathbf{-0.1\sin(3)}\Nend{align} \]
Approximations linéaires et différentielles - Principaux enseignements
- L'approximation linéaire d'une fonction est donnée par l'équation :\[ L(x) = f(a) + f'(a) (x - a) \]
- La différentielle d'une fonction, \( y = f(x) \N), est donnée par l'équation :\[ \mathrm{d}y = f'(x) ~\mathrm{d}x \N]si \( x \N) passe de \( a \N) à \( a + \mathrm{d}x \N).
- La différence est une approximation du changement de \Ny ( y \N).
- Le changement réel de \N( y \N) est donné par l'équation :\N[ \NDelta y = f(a + \Nmathrm{d}x) - f(a) \N].
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