Applications des Dérivées

Applications des dérivés en calcul

Être capable de résoudre le problème des taux connexes discuté ci-dessus n'est qu'une des nombreuses applications des dérivés que tu apprendras en calcul. Tu apprendras également comment les dérivés sont utilisés pour :

• trouver leslignes tangentes et normales à une courbe, et

• trouver les valeurs maximales et minimales .

Tu pourras ensuite utiliser ces techniques pour résoudre des problèmes d'optimisation , comme la maximisation d'une surface ou d'un revenu.

En outre, tu apprendras comment les dérivés peuvent être appliqués pour :

• résoudre des limites compliquées,

• faire des approximations, et

• pour obtenir des graphiques précis.

Application des dérivés : Lignes tangentes et normales

Les dérivées sont des outils très utiles pour trouver les équations des lignes tangentes et des lignes normales à une courbe.

Fig. 1. Utilisation de la dérivée pour trouver les lignes tangentes et normales à une courbe.

Lignes tangentes à une courbe

La ligne tangente à une courbe est une ligne qui touche la courbe en un seul point et dont la pente est la dérivée de la courbe en ce point.

Pour plus d'informations et d'exemples sur ce sujet, consulte notre article sur les lignes tangentes.

Lignes normales à une courbe

La ligne normale à une courbe est perpendiculaire à la ligne tangente. Tu utilises la ligne tangente à la courbe pour trouver la ligne normale à la courbe. La pente de la ligne normale est :

\[ n = - \frac{1}{m} = - \frac{1}{f'(x)}. \]

Application des produits dérivés : Taux connexes

Dans de nombreux scénarios du monde réel, des quantités liées entre elles changent en fonction du temps. Si tu repenses au lancement de la fusée, tu peux dire que la vitesse de changement de la hauteur de la fusée, \( h \N), est liée à la vitesse de changement de l'angle de ta caméra par rapport au sol, \( \Ntheta \N). Dans ce cas, tu diras que \N( \frac{dg}{dt} \N) et \N( \frac{d\theta}{dt} \N) sont des taux liés parce que \N( h \N) est lié à \N( \Ntheta \N).

Dans les problèmes de taux liés, tu étudies des quantités liées qui changent en fonction du temps et tu apprends à calculer un taux de changement si l'on te donne un autre taux de changement.

Il y a beaucoup d'articles différents sur les taux connexes, y compris les taux de changement, le mouvement le long d'une ligne, l'évolution de la population et les changements dans les coûts et les recettes.

Application des dérivées : Approximations linéaires et différentielles

Lorsqu'il s'agit de fonctions, les fonctions linéaires sont parmi les plus faciles à utiliser. Par conséquent, elles te fournissent un outil utile pour approximer les valeurs d'autres fonctions. Tu t'appuieras également sur cette application des dérivées plus tard, lorsque tu apprendras à approximer des fonctions à l'aide de polynômes de degré supérieur en étudiant les suites et les séries, et plus particulièrement lorsque tu étudieras les séries de puissances.

Les concepts clés et les équations des approximations linéaires et des dériv ées sont les suivants :

• Une fonction différentiable, \N( y = f(x) \N), peut être approximée en un point, \N( a \N), par la fonction d' approximation linéaire:

  \[ L(x) = f(a) + f'(a)(x-a). \]

• Étant donné une fonction, \N( y = f(x) \N), si, au lieu de remplacer \N( x \N) par \N( a \N), tu remplaces \N( x \N) par \N( a + dx \N), alors la différentielle:

  \N[ dy = f'(x)dx \N]

  est une approximation de la variation de \Ny ( y \N).

  • Le changement réel de \N( y \N), cependant, est :

    \N[ \NDelta y = f(a+dx) - f(a). \N]

• Une erreur de mesure de \( dx \N) peut conduire à une erreur dans la quantité de \( f(x) \N). C'est ce qu'on appelle l'erreur propagée, qui est estimée par :

  \N[ dy \Napprox f'(x)dx \N].

• Pour estimer l'erreur relative d'une quantité ( \N( q \N )), tu utilises :\N[ \Nfrac{ \NDelta q}{q}. \N]

Pour plus d'informations à ce sujet, consulte notre article sur la formule du montant de la variation.

Application des produits dérivés : Maxima et minima

L'une des applications les plus courantes des dérivés consiste à trouver les valeurs extrêmes, ou maxima et minima, d'une fonction. Une fois que tu auras appris les méthodes de recherche des valeurs extrêmes (également appelées collectivement extrema), tu pourras appliquer ces méthodes à d'autres applications des dérivés, comme la création de graphiques précis et la résolution de problèmes d'optimisation.

Les termes et concepts clés des maxima et minima sont :

• Termes

  • Extrémité absolue

    Si une fonction, \N( f \N), a un maximum absolu ou un minimum absolu au point \N( c \N), alors on dit que la fonction \N( f \N) a un extremum absolu à \N( c \N).

  • Maximum absolu / maximum absolu

    Si \( f(c) \geq f(x) \) pour tout \( x \) dans le domaine de \( f \), alors on dit que \( f \) a un maximum absolu à \( c \).

  • Min absolu / minimum absolu

    Si \( f(c) \leq f(x) \) pour tout \( x \) dans le domaine de \( f \), alors on dit que \( f \) a un minimum absolu à \( c \).

  • Extrémité locale

    Si une fonction, \n- f \n- a un maximum ou un minimum local au point \n- c \n-, alors on dit que \n- f \n- a un extremum local à \n- c \n-.

  • Max local / maximum local

    S'il existe un intervalle, \N- I \N-, tel que \N- f(c) \Ngeq f(x) \N-) pour tout \N- x \N- dans \N- I \N-, on dit que \N- f \N- a un maximum local au point \N- c \N-.

  • Min local / minimum local

    S'il existe un intervalle, \N- I \N-, tel que \N- f(c) \Nleq f(x) \N-) pour tout \N- x \N- dans \N- I \N-, on dit que \N- f \N- a un min local à \N- c \N-.

  • Point critique

    D'après les définitions ci-dessus, le point \N(c, f(c)) est un point critique de la fonction \N( f \N).

  • Nombre critique

    Si \Nf(c) = 0 \Nou \Nf(c) \Nest indéfini, on dit que \Nf(c) \Nest un nombre critique de la fonction \Nf(f).

  • Théorème des valeurs extrêmes

    Si la fonction \N( f \N) est continue sur un intervalle fini et fermé, alors \N( f \N) a un maximum absolu et un minimum absolu.

  • Théorème de Fermat

    Si une fonction \N( f \N) a un extremum local au point \N( c \N), alors \N( c \N) est un point critique de \N( f \N).

• Concepts

  • Il est possible pour une fonction d'avoir

    • un maximum absolu et un minimum absolu,

    • un seul extremum absolu, ou

    • n'avoir aucun extremum absolu.

  • Si une fonction a un extremum local, le point où il se produit doit être un point critique.

    • Cependant, une fonction n'a pas nécessairement un extremum local en un point critique.

  • Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné possède un maximum absolu et un minimum absolu.

    • Chaque extremum se trouve soit à un point critique, soit à un point final de la fonction.

Pour plus d'informations sur les maxima et les minima, voir Problèmes de maxima et de minima et Maxima et minima absolus.

Application des dérivés : Le théorème de la valeur moyenne

L'un des théorèmes les plus importants du calcul, et une application des dérivés, est le théorème de la valeur moyenne (parfois abrégé en MVT). Comme l'application précédente, le MVT est un théorème que tu utiliseras et sur lequel tu t'appuieras plus tard.

Les concepts clés du théorème de la valeur moyenne sont :

• La définition du MVT

  Si une fonction, f, est continue sur l'intervalle fermé [a, b] et différentiable sur l'intervalle ouvert [a, b], alors il existe un point [c] dans l'intervalle ouvert [a, b] tel que

  \Nf'(c) = \Nfrac{f(b)-f(a)}{b-a}. \N- [f'(c) = \Nfrac{f(b)-f(a)}{b-a}. \N-]

• Le cas particulier du MVT connu sous le nom de théorème de Rolle

  Si une fonction, \N f \N est continue sur l'intervalle fermé \N [a, b] \N, différentiable sur l'intervalle ouvert \N (a, b) \N et si \N f(a) = f(b) \N, alors il existe un point \N c \N dans l'intervalle ouvert \N (a, b) \N tel que

  \N- f'(c) = 0 \N]

• Les corollaires du théorème de la valeur moyenne

  1. Fonctions dont la dérivée est nulle

     Soit \N( f \N) différentiable sur un intervalle \N( I \N). Si \N f'(x) = 0 \N pour tout \N x \N dans \N I \N alors \N f'(x) = \N constante pour tout \N x \N dans \N I \N.

  2. Théorème de la différence constante

     Si les fonctions f (f) et g (g) sont différentiables sur un intervalle (I), et que f (x) = g (x) pour tout (x) dans (I), alors f (x) = g (x) + C (C) pour une constante (C).

  3. Fonctions croissantes et décroissantes

     Soit \N f \N continue sur l'intervalle fermé \N [a, b] \N et différentiable sur l'intervalle ouvert \N (a, b) \N.

     1. Si \N f'(x) > 0 \N pour tout \N x \N dans \N (a, b) \N alors \N f \N est une fonction croissante sur \N (a, b) \N.

     2. Si \N f'(x) < 0 \N pour tout \N x \N dans \N (a, b) \N alors \N f \N est une fonction décroissante sur \N (a, b) \N.

Application des dérivées : Dérivées et forme d'un graphique

En t'appuyant sur les applications des dérivées pour trouver les maxima et les minima et sur le théorème de la valeur moyenne, tu peux maintenant déterminer si un point critique d'une fonction correspond à une valeur extrême locale. Mais qu'en est-il de la forme du graphique de la fonction ? Eh bien, cette application t'apprend à utiliser les dérivées premières et secondes d'une fonction pour déterminer la forme de son graphique.

Les concepts clés des dérivées et de la forme d'un graphique sont :

• le test de la dérivée première

  Disons qu'une fonction, f, est continue sur un intervalle, I, et qu'elle contient un point critique, c,. Si \N f \N est différentiable sur \N I \N, sauf éventuellement sur \N c \N, alors \N f(c) \N satisfait à l'une des conditions suivantes :

  1. Si \N f' \N change de signe, passant de positif lorsque \N x < c \N à négatif lorsque \N x > c \N, alors \N f(c) \N est un maximum local de \N f \N.

  2. Si \Nf' \N change de signe, passant de négatif lorsque \Nf x < c \Nà positif lorsque \Nf x > c \N, alors \Nf(c) \Nest un min local de \Nf \Nf.

  3. Si \N f' \N a le même signe pour \N x < c \N et \N x > c \N, alors \N f(c) \N n'est ni un maximum local ni un minimum local de \N f \N.

• Le test des candidats

  Il s'agit d'une méthode pour trouver le maximum absolu et le minimum absolu d'une fonction continue définie sur un intervalle fermé. Elle consiste à :

  1. Trouve tous les extrema relatifs de la fonction.

  2. Évalue la fonction aux valeurs extrêmes de son domaine.

  3. Ordonne les résultats des étapes 1 et 2 du plus petit au plus grand.

     • La valeur la plus faible est le minimum global.

     • La valeur la plus grande est le maximum global.

• test de concavité

  Si \( f \) est une fonction qui est deux fois différentiable sur un intervalle \( I \), alors :

  1. Si \( f''(x) > 0 \) pour tout \( x \) dans \( I \), alors \( f \) est concave vers le haut sur \( I \).

  2. Si \Nf'(x) < 0 \Npour tout \Nx \Ndans \NI \NI, alors \Nf \Nest concave vers le bas sur \NI \NI.

• Le test de la dérivée seconde

  Supposons que f'(c) = 0, que f'' est continue sur un intervalle qui contient c.

  1. Si \N f''(c) > 0 \N alors \N f \N a un minimum local à \N c \N.

  2. Si \N f''(c) < 0 \N, alors \N f \N a un maximum local à \N c \N.

  3. Si \N f''(c) = 0 \N alors le test n'est pas concluant.

     • Tu dois évaluer \Nf'(x) \Nà un point test \Nf x \Nà gauche de \Nf c \Net à un point test \Nf x \Nà droite de \Nf c \Npour déterminer si \Nf \Nf \Na un extremum local à \Nf c \N.

Application des dérivées : Limites à l'infini et asymptotes

Une fois que tu as compris ce que sont les dérivées et la forme d'un graphique, tu peux t'appuyer sur ces connaissances pour tracer le graphique d'une fonction définie sur un domaine non borné. Pour ce faire, tu dois connaître le comportement de la fonction comme \( x \to \pm \infty \). Cette application des dérivées définit les limites à l'infini et explique comment les limites infinies affectent le graphique d'une fonction.

Les termes et concepts clés des limites à l'infini et des asymptotes sont :

• Conditions d'utilisation

  • comportement final

    Le comportement de la fonction, \N( f(x) \N), comme \N( x\Nto \Npm \Ninfty \N).

  • asymptote horizontale

    Si \( \lim_{x \à \pm \infty} f(x) = L \), alors \( y = L \) est une asymptote horizontale de la fonction \( f(x) \).

  • Limite infinie à l'infini

    La fonction \N( f(x) \N) devient de plus en plus grande car \N( x \N) devient également de plus en plus grande.

  • limite à l'infini

    La valeur limite, si elle existe, d'une fonction \Nf(x) \Nà mesure que \N( x \Nà \Npm \Ninfty \N).

  • asymptote oblique

    La droite \Ny = mx + b \Nsi \Nfonction f(x) s'en approche, en tant que \Nx \Nà \Npm \Ninfty \Nest une asymptote oblique de la fonction \Nf(x) \N.

• Concepts

  • La limite de la fonction \Nf(x) est \NL \N comme \Nf(x) à \Npm \Nfty \Nsi les valeurs de \Nf(x) se rapprochent de plus en plus de \NL \Nà mesure que \Nf(x) devient de plus en plus grand.

  • La limite de la fonction \N f(x) est \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N \N si \N f(x) \N devient de plus en plus grand \N au fur et à mesure que \N x \N devient également de plus en plus grand.

  • La limite de la fonction \N f(x) est \N - \Ninfty \N comme \N x \Nà \Ninfty \N si \N f(x) < 0 \N et \Ngauche| f(x) \Ndroite| \N devient de plus en plus grande au fur et à mesure que \N x \Nest de plus en plus grand.

  • Pour la fonction polynomiale \( P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0} \), où \( a_{n} \neq 0 \), le comportement final est déterminé par le terme principal : \N( a_{n}x^{n} \N).

    • Si \( n \neq 0 \N), alors \( P(x) \N) se rapproche de \( \pm \Ninfty \N) à chaque extrémité de la fonction.

  • Pour la fonction rationnelle \Nf(x) = \Nfrac{p(x)}{q(x)} \Nle comportement final est déterminé par la relation entre le degré de \Nf(p(x) \Net le degré de \Nf(q(x) \N.

    • Si le degré de \N p(x) est inférieur au degré de \N q(x), alors la ligne \N y = 0 est une asymptote horizontale pour la fonction rationnelle.

    • Si le degré de \Np(x) est égal au degré de \Nqui est q(x), alors la ligne \Ny = \Nfrac{a_{n}}{b_{n}} \Nest une asymptote horizontale pour la fonction rationnelle, où \N- a_{n} \Nest le premier coefficient de \Np(x) \Net \Nb_{n} \N est le premier coefficient de \Nqui est q(x) \Nest une asymptote horizontale pour la fonction rationnelle.

    • Si le degré de \Np(x) \Nest plus grand que le degré de \Nqui est q(x) \Nalors la fonction \Nf(x) \Nse rapproche de \Nf(\Ninfty \Nou de \N- - \Ninfty \Nà chacune de ses extrémités.

Application des dérivés : Problèmes d'optimisation

Pour continuer à développer les applications des dérivés que tu as apprises jusqu'à présent, les problèmes d'optimisation sont l'une des applications les plus courantes du calcul. Ils sont définis comme des problèmes de calcul où tu veux résoudre la valeur maximale ou minimale d'une fonction.

Application des dérivés : Règle de L'Hôpital

Outil puissant pour évaluer les limites, la règle de L'Hôpital est une autre application des dérivées en calcul. Cette application utilise les dérivés pour calculer des limites qui seraient autrement impossibles à trouver. Ces limites sont dans ce qu'on appelle des formes indéterminées.

Les termes et concepts clés de la règle de L'Hôpital sont les suivants :

• Termes

  • formes indéterminées

    Lors de l'évaluation d'une limite, les formes \[ \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \ 0 \cdot \infty, \infty - \infty, \ 0^{0}, \infty^{0}, \mbox{ et } 1^{\infty} \] sont toutes considérées comme des formes indéterminées parce que tu dois analyser davantage (c'est-à-dire en utilisant la règle de L'Hôpital) si la limite existe et, si c'est le cas, quelle est la valeur de la limite.

  • Règle de L'Hôpital

    Si deux fonctions, \Nf(x) \Net \Ng(x) \Nsont des fonctions différentiables sur un intervalle \N( a \N), sauf éventuellement à \N( a \N), et \N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) = 0 = \Nlim_{x \Nà a} g(x) \N] ou \N[ \Nlim_{x \Nà a} f(x) \Nmaximum{ et } \_lim_{x \to a} g(x) \mbox{ sont infinies, } \N- alors \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{x \N- à a} \Nfrac{f(x)}{g(x)} = \N- \N-{x \N- à a} \Nfrac{f'(x)}{g'(x)}, \N- \N- en supposant que la limite impliquant \N-{f'(x) \N- et \N-{g'(x) \N- existe ou est \N- \N- \N-{pm \Ninfty \N- \N- \N-).

• Concepts

  • Tu peux utiliser la règle de L'Hôpital pour évaluer la limite d'un quotient lorsqu'il est sous l'une ou l'autre des formes indéterminées \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} \).

  • Tu peux aussi utiliser la règle de L'Hôpital pour les autres formes indéterminées si tu peux les réécrire en termes de limite impliquant un quotient lorsqu'il est sous l'une ou l'autre des formes indéterminées \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} \).

Application des dérivées : La méthode de Newton

Dans de nombreuses applications des mathématiques, tu dois trouver les zéros des fonctions. Malheureusement, il est généralement très difficile - voire impossible - de calculer explicitement les zéros de ces fonctions. La méthode de Newton sauve la mise dans ces situations, car c'est une technique qui permet d'obtenir une approximation efficace des zéros des fonctions.

Les termes et concepts clés de la méthode de Newton sont les suivants :

• Termes

  • processus itératif

    Un processus dans lequel une liste de nombres comme \N[ x_{0}, x_{1}, x_{2}, \Nldots \N] est générée en commençant par un nombre \N( x_{0} \N) et en définissant ensuite \N[ x_{n} = F \Ngauche( x_{n-1} \Ndroite) \N] pour \N( n \Nneq 1 \N).

  • Méthode de Newton

    Une méthode d'approximation des racines de \Nf(x) = 0 \N. Elle utilise une estimation initiale de \( x_{0} \N). Chaque approximation ultérieure est définie par l'équation \[ x_{n} = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}. \]

• Concepts

  • La méthode de Newton approxime les racines de \Nf(x) = 0 \Nen commençant par une approximation initiale de \Nf(x_{0} \N). À partir de là, elle utilise les lignes tangentes au graphique de f(x) pour créer une séquence d'approximations : x_1, x_2, x_3, \ldots \).

  • Échecs de la méthode de Newton :

    • Cette méthode échoue lorsque la liste des nombres \N( x_1, x_2, x_3, \ldots \N) ne s'approche pas d'une valeur finie, ou

    • lorsqu'elle s'approche d'une valeur autre que la racine recherchée.

  • Tout processus dans lequel une liste de nombres \N( x_1, x_2, x_3, \Nldots \Nest générée en définissant un nombre initial \N( x_{0} \N) et en définissant les nombres suivants par l'équation \N[ x_{n} = F \Ngauche( x_{n-1} \Ndroite) \N] pour \N( n \Nneq 1 \N) est un processus itératif.

    • La méthode de Newton est un exemple de processus itératif, où la fonction \[ F(x) = x - \left[ \frac{f(x)}{f'(x)} \right] \] pour une fonction donnée de \( f(x) \N).

Application des dérivées : Antidérivées

Après avoir parcouru toutes les applications des dérivées ci-dessus, tu te demandes peut-être : et si on inversait le processus de dérivation ? Et si j'ai une fonction \N( f(x) \N) et que je dois trouver une fonction dont la dérivée est \N( f(x) \N) ? Quelle est l'application de cette fonction ?

Pour répondre à ces questions, tu dois d'abord définir les antidérivées.

• Une antidérivée d'une fonction \N( f \N) est une fonction dont la dérivée est \N( f \N).

L'étude du mouvement est l'un des nombreux exemples où tu t'intéresses à l'antidérivée d'une fonction.

Les termes et concepts clés des antidérivées sont :

• Termes

  • anti-dérivé

    Une fonction \N( F(x) \N) telle que \N( F'(x) = f(x) \N) pour tout \N( x \N) dans le domaine de \N( f \N) est une anti-dérivée de \N( f \N).

  • Intégrale indéfinie

    L'antidérivée la plus générale d'une fonction \N( f(x) \N) est l'intégrale indéfinie de \N( f \N). La notation \[ \int f(x) dx \] indique l'intégrale indéfinie de \( f(x) \N).

  • Problème de valeur initiale

    Un problème qui te demande de trouver une fonction \N( y \N) qui satisfait l'équation différentielle \N[ \Nfrac{dy}{dx} = f(x) \N] avec la condition initiale de \N[ y(x_{0}) = y_{0}. \N].

• Concepts

  • Si la fonction \NF \NF est une antidérivée d'une autre fonction \NF \NF, alors toute antidérivée de \NF \NF est de la forme \NF [F(x) + C \N] pour une certaine constante \NF [C \NF].

  • La résolution du problème de la valeur initiale \[ \frac{dy}{dx} = f(x), \mbox{ avec la condition initiale } y(x_{0}) = y_{0}. \] te demande de :

    • d'abord trouver l'ensemble des antidérivées de \( f \N) et ensuite

    • rechercher l'antidérivée particulière qui satisfait également à la condition initiale.

Applications des dérivés en ingénierie

Les applications des dérivés en ingénierie sont vraiment très vastes. Pour aborder le sujet, tu dois d'abord comprendre qu'il existe de nombreux types d'ingénierie. Pour n'en citer que quelques-uns ;

• Génie mécanique

• Génie civil

• Génie industriel

• Génie électrique

• Génie aérospatial

• Génie chimique

• Génie informatique

• \( \vdots \)

Tous ces domaines d'ingénierie utilisent le calcul. Ils utilisent tous les applications des dérivées à leur manière, pour résoudre leurs problèmes.

• Un exemple commun à plusieurs disciplines d'ingénierie est l'utilisation des dérivées pour étudier les forces agissant sur un objet. Par exemple,

  • Les ingénieurs en mécanique peuvent étudier les forces qui agissent sur une machine (ou même à l'intérieur de la machine).

  • Les ingénieurs civils peuvent étudier les forces qui agissent sur un pont.

  • Les ingénieurs industriels peuvent étudier les forces qui agissent sur une usine.

  • Les ingénieurs en aérospatiale peuvent étudier les forces qui agissent sur une fusée.

  • Et ainsi de suite.

Dans tous les cas, pour étudier les forces qui agissent sur différents objets ou dans différentes situations, l'ingénieur doit utiliser les applications des produits dérivés (et bien plus encore).

Applications des produits dérivés en économie

Même le secteur financier a besoin d'utiliser le calcul ! Les applications des produits dérivés sont utilisées en économie pour déterminer et optimiser :

• l'offre et la demande,

• le profit et le coût, et

• les recettes et les pertes.

Applications des produits dérivés : Exemples