Tu as appris à calculer l'aire sous une seule courbe grâce à l'application des intégrales définies, mais t'es-tu déjà demandé comment calculer l'aire entre deux courbes ? La réponse est probablement non, mais ce n'est pas grave ! L'aire entre deux courbes est une quantité plus utile que tu ne le penses. Elle peut être utilisée pour déterminer des chiffres tels que la différence de consommation d'énergie de deux appareils, la différence de vitesse de deux particules et bien d'autres quantités. Dans cet article, tu vas te plonger dans l'aire entre deux courbes, explorer la définition et la formule, couvrir de nombreux exemples différents et montrer comment calculer l'aire entre deux courbes polaires.
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L'aire entre deux courbes est définie comme suit :
Pour deux fonctions, \(f(x)\N et \N(g(x)\N), si \N(f(x) \Ngeq g(x)\N) pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle \N([a, \Nb]\N), alors l'aire entre ces deux fonctions est égale à l'intégrale de \N(f(x) - g(x)\N) ;)
Jusqu'à présent, nous avons discuté de l'aire par rapport à l'axe à la place ? Dans ce cas, la définition change légèrement :
Pour deux fonctions, \N(g(y)\N) et \N(h(y)\N), si \N(g(y) \Ngeq f(x)\N) pour toutes les valeurs de \N(y)\N dans l'intervalle \N([c, d]\N), alors l'aire entre ces fonctions est égale à l'intégrale de \N(g(y)-h(y)\N).
Formule de l'aire entre deux courbes
D'après la définition de l'aire entre deux courbes, tu sais que l'aire est égale à l'intégrale de \(f(x)\Nmoins l'intégrale de \N(g(x)\N), si \N(f(x) \Ngeq g(x)\Nsur l'intervalle \N([a,b]\N). La formule utilisée pour calculer l'aire entre deux courbes est donc la suivante :
Figure. 1- Calculer l'aire entre deux courbes en soustrayant l'aire sous une courbe à une autre. Ici, l'aire sous est soustraite de l'aire sous , le résultat est .
Il peut être difficile de se rappeler quel graphique doit être soustrait de quel autre. Tu sais que doit être supérieur à sur tout l'intervalle et dans la figure ci-dessus, tu peux voir que le graphique de se trouve au-dessus du graphique de sur tout l'intervalle. On peut donc dire que l'aire entre deux courbes est égale à l'intégrale de l'équation du graphique supérieur moins le graphique inférieur, ou sous forme mathématique : \[ Aire = \int_a^b( y_{\text{top}} - y_{\text{bottom}}) \N, \mathrm{d}x \N].
Formule de l'aire entre deux courbes - axe des y
La formule utilisée pour calculer la surface entre deux courbes par rapport à l'axe est extrêmement similaire à celle utilisée pour calculer la surface entre deux courbes par rapport à l'axe \(x). La formule est la suivante :
où \N(g(y) \Ngeq h(y) \N) pour toutes les valeurs de \N(y) dans l'intervalle \N([c, d]\N).
Puisque \N(g(y)\N) doit être supérieur à \N(h(y)\N) sur tout l'intervalle \N([c.d]\N), tu peux aussi dire que la surface entre deux courbes par rapport à l'axe \N(y)\Nest égale à l'intégrale du graphique de droite moins le graphique de gauche, ou, en termes mathématiques, que la surface entre deux courbes par rapport à l'axe \N(y)\Nest égale à l'intégrale du graphique de droite moins le graphique de gauche, ou, en termes mathématiques, à l'intégrale du graphique de gauche :
. Une chose dont il faut tenir compte lors de l'intégration par rapport à l'axe est la signature des zones . Les régions situées à droite de l'axe auront une surface signée positive, et les régions situées à gauche de l'axe auront une surface signée négative .
Considérons la fonction . L'intégrale de cette fonction est l'aire signée entre le graphique et l'axe \N(y)- pour \N(y \Ndans [c,d]\N). La valeur de cette aire signée est égale à la valeur de l'aire à droite de l'axe \N(y\N) moins la valeur de l'aire à gauche de l'axe \N(y\N). La figure ci-dessous illustre l'aire signée de la fonction .
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N'oublie pas que l'aire à gauche de l'axe \N(y\N) est négative, donc lorsque tu soustrais cette aire de l'aire à droite de l'axe \N(y\N), tu finis par l'ajouter.
Étapes du calcul de l'aire entre deux courbes
Tu peux suivre une série d'étapes qui te permettront de calculer l'aire entre deux courbes relativement facilement.
Étape 1 : Détermine la fonction qui se trouve au sommet. Pour ce faire, tu peux esquisser les fonctions ou, dans le cas de fonctions quadratiques, compléter le carré. Les croquis t'aideront non seulement à déterminer le graphique, mais aussi à voir s'il y a des intercepts entre les graphiques dont tu devrais tenir compte.
Étape 2 : Établir les intégrales. Tu devras peut-être manipuler la formule ou diviser les fonctions en différents intervalles qui s'inscrivent dans l'intervalle d'origine, selon les intersections et l'intervalle sur lequel tu dois calculer l'ordonnée à l'origine.
Étape 3 : Évalue les intégrales pour obtenir la surface.
La section suivante montre comment tu peux mettre ces étapes en pratique.
Exemples d'aires entre deux courbes
Trouve l'aire délimitée par les graphiques \(f(x) = x + 5) et \(g(x) = 1) sur l'intervalle \([1, 5]\N).
Solution :
Étape 1 : Détermine la fonction qui se trouve en haut.
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La figure 3 montre clairement que est le graphique du haut.
Il est utile d'ombrer la région pour laquelle tu calcules l'aire, afin d'éviter toute confusion et d'éventuelles erreurs.
Étape 2 : Établir les intégrales. Tu as déterminé que se trouve au-dessus de , et tu sais que l'intervalle est \([1,5]\N). Tu peux maintenant commencer à substituer ces valeurs dans l'intégrale.
Tu peux voir sur le croquis qu'une zone est délimitée lorsque le graphique de se trouve au-dessus de . L'intervalle doit donc être constitué des valeurs de . Pour déterminer cet intervalle, tu dois trouver les valeurs \(x) pour lesquelles \(f(x) = g(x)\N).
Cet exemple est un autre exemple impliquant deux paraboles, mais dans ce cas, elles ne se croisent pas et l'intervalle est donné.
Trouve l'aire de la région entre les graphiques de et sur l'intervalle .
Solution :
Étape 1 : Détermine le graphique du haut. Les deux fonctions sont des paraboles, tu peux donc compléter le carré pour déterminer celle qui se trouve au-dessus. Dans cet exemple, elles t'ont déjà été données sous la forme d'un carré complet.
Le graphique de est une parabole renversée dont le point d'inflexion se situe à . Le graphique de est une parabole renversée dont le point d'inflexion se situe à . Il est clair que \N(g(x)\Nest le graphique qui se trouve au-dessus car son point d'inflexion se trouve à \N(y= 7\N) par rapport à \N(f(x)\N) dont le point d'inflexion se trouve à \N(y = 4\N). Puisque est tourné vers le haut et se trouve 3 unités au-dessus de , qui est tourné vers le bas, tu peux voir que les graphiques ne se croisent pas.
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Une autre question pourrait te demander de calculer la surface entre deux courbes sur un intervalle où les deux courbes se situent au-dessus et au-dessous d'un certain point. L'exemple suivant montre comment tu peux résoudre une telle question :
Calcule l'aire de la région délimitée par les graphiques de et sur l'intervalle .
Solution :
Étape 1 : Détermine le graphique qui se trouve au-dessus en les esquissant comme le montre la figure 6 ci-dessous.
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Figure. 6 - Graphique d'une parabole et d'une droite
Le croquis montre clairement que les deux graphiques se situent au-dessus à un certain point de l'intervalle donné.
Étape 2 : Établir les intégrales. Dans des cas comme celui-ci, où chaque graphique se trouve à la fois au-dessus et au-dessous, tu dois diviser la surface que tu calcules en régions distinctes. La surface totale entre les deux courbes sera alors égale à la somme des surfaces des régions séparées.
Tu peux voir sur le croquis que se trouve au-dessus de sur l'intervalle \([-4, 1]\N), ce sera donc la première région, \(R_1\N). Tu peux aussi voir que \N(g(x)) se trouve au-dessus de \N(f(x)\N) sur l'intervalle \N([1, 2]\N), ce qui deviendra la deuxième région, \N(R_2\N).
Calcule la surface délimitée par les graphiques de \N(f(x)\Net \N(f(x)\N) si \N(h(x) = 3x^2 - 8x + 7\Net \N(p(x) = x+ 1\N)et si \N(h(x) = 3x^2 - 8x + 7\N).
Solution :
Étape 1 : Détermine le graphique supérieur et l'intervalle. Puisqu'on te demande de calculer l'aire de la région délimitée par et , tu dois déterminer l'ordonnée à l'origine des graphiques. La façon la plus simple de le faire est d'esquisser les graphiques comme le montre la figure 7 ci-dessous.
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Figure. 7 - Aires entre une droite et une parabole
Tu peux voir sur le croquis qu'une zone est délimitée par les deux graphiques lorsque se trouve au-dessus de . L'intervalle pour lequel cela se produit se situe entre les ordonnées de \N(f(x)\Net \N(g(x)\N). L'intervalle est donc \N([1,2]\N).
Étape 2 : Établir l'intégrale. Puisque \N(g(x)\N) se trouve au-dessus de \N(f(x)\N), tu dois soustraire \N(f(x)\N) de \N(g(x)\N).
Trouve l'aire de la région délimitée par ces graphiques.
Solution :
La méthode pour résoudre cette question est similaire à celle utilisée dans l'exemple, où les deux graphiques se trouvent au-dessus et au-dessous de l'intervalle. Autrement dit, cette question est résolue en divisant la surface totale en régions distinctes.
Étape 1 : Tout d'abord, dessine les graphiques comme le montre la figure 8 ci-dessous.
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Figure. 8 - Graphique de trois courbes : deux droites et une hyperbole.
Tu peux voir sur le croquis que la surface délimitée par les graphiques s'étend sur l'intervalle , mais le calcul de la surface est devenu plus compliqué car il y a maintenant trois graphiques impliqués.
Le secret consiste à diviser la surface en régions distinctes. Le croquis te montre que se trouve sous et sur l'intervalle \N([0,2]\N). Tu sais maintenant que du point où les graphiques se croisent est l'endroit où tu divises la surface totale en régions distinctes, comme le montre la figure 9 ci-dessous.
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Figure. 9 - La zone délimitée par les deux droites et les hyperboles
La région \N(R_1\N) s'étend sur l'intervalle \N([0,1]\N) et est clairement délimitée en haut par le graphique de \N(f(x)\N). La région \N(R_2\N) s'étend sur l'intervalle \N([1,2]\N) et est délimitée en haut par le graphique de \N(f(x)\N).
Tu peux maintenant calculer la surface des régions \N(R_1\N) et \N(R_2\N) car tu as clairement montré que chaque région a un graphique en haut et un graphique en bas.
Etape 4 : Calculer la surface totale.\[\begin{align}\text{SurfaceTotale} &= \text{Area}_{R_1} + \text{Area}_{R_2} \N-& = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} \N-& = 3\N- end{align}\N]
On peut te demander de calculer l'aire entre deux courbes trigonométriques. L'exemple suivant montre comment résoudre des questions de cette nature.
Calcule l'aire délimitée par les graphiques de et pour .
Solution :
Étape 1 : Commence par dessiner les graphiques. Ils se croisent une fois sur l'intervalle donné, au point ). Tu peux voir sur le croquis que le graphique de se trouve au-dessus du graphique de sur tout l'intervalle.
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L'aire de la région d'une courbe polaire qui est limitée par les rayons et est donnée par :
Il s'ensuit que la formule pour calculer l'aire entre deux courbes polaires est :
Si est une fonction continue, alors l'aire délimitée par une courbe de forme polaire et les rayons et (avec ) est égale à.
.
Une explication plus détaillée de l'aire sous les courbes polaires se trouve dans l'article Aire des régions délimitées par des courbes polaires.
Aire entre deux courbes - Principaux enseignements
L'aire entre deux courbes par rapport à l'axe , où :
\N(f(x) \Ngeq g(x) \N) sur l'intervalle \N([a,b]\N).
L'aire entre deux courbes par rapport à l'axe \N(y) est donnée par \N(\Ntext{Area} = \Nint_c^d \Ngauche( g(y) - h(y) \Ndroite) \N, \Nmathrm{d}x \N), où :
\N(g(y) \Ngeq h(y)\N) sur l'intervalle \N([c,d]\N).
Prends en compte l'aire signée lorsque tu calcules l'aire entre deux courbes par rapport à l'axe . L'aire signée à gauche de l'axe \N(y\N) est négative, et l'aire signée à droite de l'axe \N(y\N) est positive.
Si aucun intervalle n'est donné, il peut être déterminé en calculant les ordonnées des graphiques donnés.
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Questions fréquemment posées en Aire entre deux courbes
Qu'est-ce que l'aire entre deux courbes ?
L'aire entre deux courbes est la région plane comprise entre deux graphiques de fonctions. Elle est calculée en intégrant la différence des fonctions sur un intervalle donné.
Comment calcule-t-on l'aire entre deux courbes ?
Pour calculer l'aire entre deux courbes, on intègre la différence des fonctions f(x) et g(x) sur l'intervalle [a, b] :
∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx.
Quand utilise-t-on l'aire entre deux courbes ?
On utilise l'aire entre deux courbes en mathématiques pour trouver la taille de la région limitée par deux graphiques, souvent en physique et en ingénierie.
Quelle est l'importance de comprendre l'aire entre deux courbes ?
Comprendre l'aire entre deux courbes aide à résoudre des problèmes en mathématiques, physique et économie où l'on doit évaluer des régions sous des courbes.
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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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