Définition de l'aire entre deux courbes
L'aire entre deux courbes est définie comme suit :
Pour deux fonctions, \(f(x)\N et \N(g(x)\N), si \N(f(x) \Ngeq g(x)\N) pour toutes les valeurs de x dans l'intervalle \N([a, \Nb]\N), alors l'aire entre ces deux fonctions est égale à l'intégrale de \N(f(x) - g(x)\N) ;)
Jusqu'à présent, nous avons discuté de l'aire par rapport à l'axe \(x). Que se passe-t-il si l'on te demande de calculer l'aire par rapport à l'axe \(y\) à la place ? Dans ce cas, la définition change légèrement :
Formule de l'aire entre deux courbes
D'après la définition de l'aire entre deux courbes, tu sais que l'aire est égale à l'intégrale de \(f(x)\Nmoins l'intégrale de \N(g(x)\N), si \N(f(x) \Ngeq g(x)\Nsur l'intervalle \N([a,b]\N). La formule utilisée pour calculer l'aire entre deux courbes est donc la suivante :
[\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{align}} \text{Area } = & \int^b_a f(x) dx - \int^b_a g(x) \, \mathrm{d}x \\end{align}\]
Ceci peut être simplifié pour nous donner la formule finale de l'aire :
\[\text{Area } = \int^b_a \left ( f(x) - g(x) \right ) \, \mathrm{d}x\]
La figure 1 ci-dessous illustre la logique qui sous-tend cette formule.
Il peut être difficile de se rappeler quel graphique doit être soustrait de quel autre. Tu sais que \(f(x)\) doit être supérieur à \(g(x)\) sur tout l'intervalle et dans la figure ci-dessus, tu peux voir que le graphique de \(f(x)\) se trouve au-dessus du graphique de \(g(x)\) sur tout l'intervalle. On peut donc dire que l'aire entre deux courbes est égale à l'intégrale de l'équation du graphique supérieur moins le graphique inférieur, ou sous forme mathématique : \[ Aire = \int_a^b( y_{\text{top}} - y_{\text{bottom}}) \N, \mathrm{d}x \N].
Formule de l'aire entre deux courbes - axe des y
La formule utilisée pour calculer la surface entre deux courbes par rapport à l'axe \(y\) est extrêmement similaire à celle utilisée pour calculer la surface entre deux courbes par rapport à l'axe \(x). La formule est la suivante :
\[\begin{align}\text{Area} = & \int^d_c g(y) \N ; dy - \int^d_c h(y) \N, \mathrm{d}y \N= & \int^d_c (g(y) - h(y) ) \N-\Nend{align}\N]
où \N(g(y) \Ngeq h(y) \N) pour toutes les valeurs de \N(y) dans l'intervalle \N([c, d]\N).
Puisque \N(g(y)\N) doit être supérieur à \N(h(y)\N) sur tout l'intervalle \N([c.d]\N), tu peux aussi dire que la surface entre deux courbes par rapport à l'axe \N(y)\Nest égale à l'intégrale du graphique de droite moins le graphique de gauche, ou, en termes mathématiques, que la surface entre deux courbes par rapport à l'axe \N(y)\Nest égale à l'intégrale du graphique de droite moins le graphique de gauche, ou, en termes mathématiques, à l'intégrale du graphique de gauche :
\[\text{Area} = \int_c^d \left (x_{\text{right}} - x_{\text{left}} \rright) \, \mathrm{d}y\].
Une chose dont il faut tenir compte lors de l'intégration par rapport à l'axe \(y\) est la signature des zones . Les régions situées à droite de l'axe \(y\) auront une surface signée positive, et les régions situées à gauche de l'axe \(y\) auront une surface signée négative .
Considérons la fonction \(x = g(y)\). L'intégrale de cette fonction est l'aire signée entre le graphique et l'axe \N(y)- pour \N(y \Ndans [c,d]\N). La valeur de cette aire signée est égale à la valeur de l'aire à droite de l'axe \N(y\N) moins la valeur de l'aire à gauche de l'axe \N(y\N). La figure ci-dessous illustre l'aire signée de la fonction \(x = \frac{1}{4}y^2 -4\).
Figure. 2 - Aire signée de la fonction \(x = \frac{1}{4}y^2 - 4\)
N'oublie pas que l'aire à gauche de l'axe \N(y\N) est négative, donc lorsque tu soustrais cette aire de l'aire à droite de l'axe \N(y\N), tu finis par l'ajouter.
Étapes du calcul de l'aire entre deux courbes
Tu peux suivre une série d'étapes qui te permettront de calculer l'aire entre deux courbes relativement facilement.
Étape 1 : Détermine la fonction qui se trouve au sommet. Pour ce faire, tu peux esquisser les fonctions ou, dans le cas de fonctions quadratiques, compléter le carré. Les croquis t'aideront non seulement à déterminer le graphique, mais aussi à voir s'il y a des intercepts entre les graphiques dont tu devrais tenir compte.
Étape 2 : Établir les intégrales. Tu devras peut-être manipuler la formule ou diviser les fonctions en différents intervalles qui s'inscrivent dans l'intervalle d'origine, selon les intersections et l'intervalle sur lequel tu dois calculer l'ordonnée à l'origine.
Étape 3 : Évalue les intégrales pour obtenir la surface.
La section suivante montre comment tu peux mettre ces étapes en pratique.
Exemples d'aires entre deux courbes
Trouve l'aire délimitée par les graphiques \(f(x) = x + 5) et \(g(x) = 1) sur l'intervalle \([1, 5]\N).
Solution :
Étape 1 : Détermine la fonction qui se trouve en haut.
Figure. 3 - Graphiques de \(f(x) = x+5\) et \(g(x) = 1\)
La figure 3 montre clairement que \(f(x)\) est le graphique du haut.
Il est utile d'ombrer la région pour laquelle tu calcules l'aire, afin d'éviter toute confusion et d'éventuelles erreurs.
Étape 2 : Établir les intégrales. Tu as déterminé que \(f(x)\) se trouve au-dessus de \(g(x)\), et tu sais que l'intervalle est \([1,5]\N). Tu peux maintenant commencer à substituer ces valeurs dans l'intégrale.
\N-\Nbegin{align}\Ntext{Area} & = \Nint_{1}^{5} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d}x \\& = \int_{1}^{5} (x + 5 - 1) \N- \N- \N- \N- \N- \N-& = \N- \N-{1}^{5} (x + 4) \, \mathrm{d}x \\\end{align}\]
Étape 3 : Évalue l'intégrale.
\[\begin{align}\text{Area} & = \int_{1}^{5} (x + 5) \, \mathrm{d}x \\& = \left. \Ngauche (\Nfrac{1}{2}x^2 + 5x \Ndroit) \Ndroit |_1^5 \N& = 28\Nend{align}\N]
Comment calculer la surface entre deux courbes si aucun intervalle n'est donné ? L'exemple suivant t'explique en détail comment procéder :
Calcule la surface délimitée par les graphiques de \(f(x) = -x^2 + 4x \) et \(g(x) = x^2 \).
Solution :
Étape 1 : Détermine le graphique qui se trouve en haut. Tu dois aussi déterminer l'intervalle puisqu'il n'y en a pas.
Figure. 4 - Graphiques de \(f(x) = -x^2 + 4x\) et \(g(x) = x^2\)
Tu peux voir sur le croquis qu'une zone est délimitée lorsque le graphique de \(f(x)\) se trouve au-dessus de \(g(x)\). L'intervalle doit donc être constitué des valeurs de \(x) pour lesquelles \(f(x) \geq g(x)\). Pour déterminer cet intervalle, tu dois trouver les valeurs \(x) pour lesquelles \(f(x) = g(x)\N).
\N-\Nbegin{align}f(x) & = g(x) \N--x^2 + 4x & = x^2 \N-2x^2 - 4x & = 0 \N-x(x - 2) & = 0 \N-\N-\N-implique \Nquad x = 0 &\N-text{ et } x = 2\Nend{align}\N]
Étape 2 : Établir les intégrales. La zone délimitée par les graphiques sera sur l'intervalle \N([0,2]\N).
\[\begin{align}\text{Area} & = \int_0^2 \left( f(x) - g(x) \right) \, \mathrm{d}x \& = \int_0^2 \left( -x^2 + 4x - x^2 \right) \, \mathrm{d}x \\N& = \int_0^2 \left( -2x^2 +4x \Nright) \, \mathrm{d}x \N\end{align}\N]
ÉTAPE 3 : Évalue les intégrales.
\[\begin{align}\text{Area} & = \int_0^2 \left( -2x^2 + 4x \right ) \, \mathrm{d}x \\N-& = \left. \left(-\frac{2}{3} x^3 + 2x^2 \right) \right |_0^2 \\N& = \frac{8}{3}\Nend{align}\N]
Cet exemple est un autre exemple impliquant deux paraboles, mais dans ce cas, elles ne se croisent pas et l'intervalle est donné.
Trouve l'aire de la région entre les graphiques de \(f(x) = -(x-6)^2 + 4\) et \(g(x) = (x-5)^2 + 7\) sur l'intervalle \([4,7]\).
Solution :
Étape 1 : Détermine le graphique du haut. Les deux fonctions sont des paraboles, tu peux donc compléter le carré pour déterminer celle qui se trouve au-dessus. Dans cet exemple, elles t'ont déjà été données sous la forme d'un carré complet.
Le graphique de \(f(x)\) est une parabole renversée dont le point d'inflexion se situe à \((6,4)\). Le graphique de \(g(x)\) est une parabole renversée dont le point d'inflexion se situe à \((5,7)\). Il est clair que \N(g(x)\Nest le graphique qui se trouve au-dessus car son point d'inflexion se trouve à \N(y= 7\N) par rapport à \N(f(x)\N) dont le point d'inflexion se trouve à \N(y = 4\N). Puisque \(g(x)\) est tourné vers le haut et se trouve 3 unités au-dessus de \(f(x)\), qui est tourné vers le bas, tu peux voir que les graphiques ne se croisent pas.
Figure. 5 - Graphiques de \(f(x) = -(x- 6)^2 + 4\) et \(g(x) = (x-5)^2 + 7\)
Étape 2 : Établir l'intégrale.
\N-\Nbegin{align}\Ntext{Area} & = \Nint_4^7 \Nà gauche( y_{{text{top}} - y_{text{bottom}} \Nà droite) \N, \Nmathrm{d}x \N& = \Nint_4^7 \Nà gauche[ (x-5)^2 + 7 -(-(x-6)^2 + 4) \Nà droite] \N, \Nmathrm{d}x \Nà droite& = \int_4^7 \left[ x^2 - 10x +25 + 7 - (-(x^2 -12x + 36) +4) \right] \mathrm{d}x \\N-& = \int_4^7 \left[ 2x^2 - 22x + 64 \N-right] \mathrm{d}x \N-\end{align}\N-]
Étape 3 : Évalue l'intégrale.
\N[\Nbegin{align}\Ntext{Area} & = \Nint_4^7 \Nà gauche[ 2x^2 -22x + 64 \Nà droite] \N, \Nmathrm{d}x \Nà& = \Nà gauche. \left(\frac{2}{3}x^3 - 11x^2 + 64x \right) \right|_4^7 \e& = 15\eend{align}\e]
Une autre question pourrait te demander de calculer la surface entre deux courbes sur un intervalle où les deux courbes se situent au-dessus et au-dessous d'un certain point. L'exemple suivant montre comment tu peux résoudre une telle question :
Calcule l'aire de la région délimitée par les graphiques de \(f(x) = -x^2 - 2x + 3\) et \(g(x) = x-1\) sur l'intervalle \([-4, 2]\).
Solution :
Étape 1 : Détermine le graphique qui se trouve au-dessus en les esquissant comme le montre la figure 6 ci-dessous.
Figure. 6 - Graphique d'une parabole et d'une droite
Le croquis montre clairement que les deux graphiques se situent au-dessus à un certain point de l'intervalle donné.
Étape 2 : Établir les intégrales. Dans des cas comme celui-ci, où chaque graphique se trouve à la fois au-dessus et au-dessous, tu dois diviser la surface que tu calcules en régions distinctes. La surface totale entre les deux courbes sera alors égale à la somme des surfaces des régions séparées.
Tu peux voir sur le croquis que \(f(x)\) se trouve au-dessus de \(g(x)\) sur l'intervalle \([-4, 1]\N), ce sera donc la première région, \(R_1\N). Tu peux aussi voir que \N(g(x)) se trouve au-dessus de \N(f(x)\N) sur l'intervalle \N([1, 2]\N), ce qui deviendra la deuxième région, \N(R_2\N).
\N-\Nbegin{align}\Ntext{Area}_{R_1} & = \int_{-4}^1 \Nà gauche( f(x) - g(x) \Nà droite) \N, \Nmathrm{d}x \N& = \int_{-4}^1 \Nà gauche( -(x+1)^2 + 4 - (x-1) \Nà droite) \N, \Nmathrm{d}x \Nà droite& = \int_{-4}^1 \left( -x^2 - 2x + 3 - x + 1 \right) \, \mathrm{d}x \N& = \int_{-4}^1 \left( -x^2 - 3x + 4 \right) \, \mathrm{d}x\end{align}\N]
et
\[\begin{align}\text{Area}_{R_2} & = \int_{1}^2 \left( g(x) - f(x) \right) \, \mathrm{d}x \& = \int_{1}^2 \left( x- 1 - (-(x+1)^2 + 4 ))\N-right) \N- \N- \N- \N- \N-& = \N-{1}^2 \N- \Nleft( x -1 - (- x^2 - 2x + 3) \N- right) \N- \N- \N- \N-& = \N-{1}^2 \N- \Nleft( x^2 + 3x - 4 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- [end{align}\N]
Étape 3 : Évalue les intégrales.
\[\begin{align}\text{Area}_{R_1} & = \int_{-4}^1 \left( -x^2 - 3x + 4 \right) \, \mathrm{d}x \& = \left. \Ngauche( -\frac{1}{3}x^3 -\frac{3}{2}x^2 + 4x \Ndroit) \Ndroit|_{-4}^{1}) \\N-& = \frac{125}{6}\end{align}\N]
et
\[\begin{align}\text{Area}_{R_2} & = \int_{1}^2 \left( x^2 + 3x - 4 \right) \, \mathrm{d}x \& = \left. \left( \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 4x \right) \right|_1^2 \\e& = \frac{17}{6}\e-end{align}\e]
Étape 4 : calcule la surface totale.
\[\begin{align}\text{Surface totale} & = \text{Surface}_{R_1} + \text{Area}_{R_2} \\N-& = \frac{125}{6} + \frac{17}{6} \N-& = \Nfrac{71}{3}\Nend{align}\N]
Voici un autre exemple :
Calcule la surface délimitée par les graphiques de \N(f(x)\Net \N(f(x)\N) si \N(h(x) = 3x^2 - 8x + 7\Net \N(p(x) = x+ 1\N)et si \N(h(x) = 3x^2 - 8x + 7\N).
Solution :
Étape 1 : Détermine le graphique supérieur et l'intervalle. Puisqu'on te demande de calculer l'aire de la région délimitée par \(f(x)\) et \(g(x)\), tu dois déterminer l'ordonnée à l'origine des graphiques. La façon la plus simple de le faire est d'esquisser les graphiques comme le montre la figure 7 ci-dessous.
Figure. 7 - Aires entre une droite et une parabole
Tu peux voir sur le croquis qu'une zone est délimitée par les deux graphiques lorsque \(g(x)\) se trouve au-dessus de \(f(x)\). L'intervalle pour lequel cela se produit se situe entre les ordonnées de \N(f(x)\Net \N(g(x)\N). L'intervalle est donc \N([1,2]\N).
Étape 2 : Établir l'intégrale. Puisque \N(g(x)\N) se trouve au-dessus de \N(f(x)\N), tu dois soustraire \N(f(x)\N) de \N(g(x)\N).
\N[\Nbegin{align}\Ntext{Area} & = \Nint_1^2 ( g(x) - f(x)) \, \mathrm{d}x \\& = \int_1^2 ( x+1 - ( 3x^2 - 8x + 7)) \, \mathrm{d}x \\& = \int_1^2 (-3x^2 + 9x - 6) \, \mathrm{d}x \\\end{align}\]
Étape 3 : Évalue l'intégrale.
\[\begin{align}\text{Area} & = \int_1^2 ( -3x^2 + 9x -6) \, \mathrm{d}x \\N-& = \left. \Ngauche( -x^3 + \Nfrac{9}{2}x^2 - 6x \Ndroite) \Ndroite|_1^2 \N& = 0.5\Nend{align}\N]
Certaines questions peuvent même te demander de calculer la surface délimitée par trois fonctions, comme dans l'exemple ci-dessous.
On te donne les trois fonctions suivantes :
\[\begin{gather*}f(x) = \frac{4}{x^2} \\N-\N-g(x) = 4x \N-\N-h(x) = \frac{1}{2} x\N- end{gather*}\N-]
Trouve l'aire de la région délimitée par ces graphiques.
Solution :
La méthode pour résoudre cette question est similaire à celle utilisée dans l'exemple, où les deux graphiques se trouvent au-dessus et au-dessous de l'intervalle. Autrement dit, cette question est résolue en divisant la surface totale en régions distinctes.
Étape 1 : Tout d'abord, dessine les graphiques comme le montre la figure 8 ci-dessous.
Figure. 8 - Graphique de trois courbes : deux droites et une hyperbole.
Tu peux voir sur le croquis que la surface délimitée par les graphiques s'étend sur l'intervalle \([0,2]\), mais le calcul de la surface est devenu plus compliqué car il y a maintenant trois graphiques impliqués.
Le secret consiste à diviser la surface en régions distinctes. Le croquis te montre que \(h(x)\) se trouve sous \(f(x)\) et \(g(x)\) sur l'intervalle \N([0,2]\N). Tu sais maintenant que \(f(x)\Net \Ng(x)\Nsont des graphes supérieurs et, par le calcul ou en regardant ton croquis, tu peux montrer qu'ils se croisent à \N((1,4)\N). La valeur de \(x\) du point où les graphiques se croisent est l'endroit où tu divises la surface totale en régions distinctes, comme le montre la figure 9 ci-dessous.
Figure. 9 - La zone délimitée par les deux droites et les hyperboles
La région \N(R_1\N) s'étend sur l'intervalle \N([0,1]\N) et est clairement délimitée en haut par le graphique de \N(f(x)\N). La région \N(R_2\N) s'étend sur l'intervalle \N([1,2]\N) et est délimitée en haut par le graphique de \N(f(x)\N).
Tu peux maintenant calculer la surface des régions \N(R_1\N) et \N(R_2\N) car tu as clairement montré que chaque région a un graphique en haut et un graphique en bas.
Étape 2 : Établir les intégrales.
\[\begin{align}\text{Area}_{R_1} & = \int_0^1 \left( g(x) - h(x) \right) \, \mathrm{d}x\\& = \int_0^1 \left( 4x - \frac{1}{2}x \right) \, \mathrm{d}x \N& = \int_0^1 \left( \frac{7}{2}x \right) \, \mathrm{d}x\Nend{align}\N]
Et
\[\begin{align}\text{Area}_{R_2} & = \int_1^2 \left( f(x) - h(x) \right) \, \mathrm{d}x \& = \int_1^2 \left( \frac{4}{x^2} - \frac{1}{2}x \right) \, \mathrm{d}x\end{align}\]
Étape 3 : évaluer les intégrales.
\[\begin{align}\text{Area}_{R_1} & = \int_0^1 \left( \frac{7}{2}x \right) \, \mathrm{d}x \& = \left. \left( \frac{7}{4} x^2 \right) \right|_0^1 \\N-& = \frac{7}{4} \N-\Nend{align}\N]
Et
\[\begin{align}\text{Area}_{R_2} &= \int_1^2 \left( \frac{4}{x^2} - \frac{1}{2}x \right) \, \mathrm{d}x \& = \left. \left( -\frac{4}{x} - \frac{1}{4}x^2 \right) \right|_1^2 \\e& = \frac{5}{4}\eend{align}\e]
Etape 4 : Calculer la surface totale.\[\begin{align}\text{SurfaceTotale} &= \text{Area}_{R_1} + \text{Area}_{R_2} \\N-& = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} \N-& = 3\N- end{align}\N]
On peut te demander de calculer l'aire entre deux courbes trigonométriques. L'exemple suivant montre comment résoudre des questions de cette nature.
Calcule l'aire délimitée par les graphiques de \(f(x) = 4sin(x) \) et \(g(x) = cos(x) + 1\) pour \(\pi \leq x \leq 2\pi\).
Solution :
Étape 1 : Commence par dessiner les graphiques. Ils se croisent une fois sur l'intervalle donné, au point \((0,\pi\)). Tu peux voir sur le croquis que le graphique de \(g(x)\) se trouve au-dessus du graphique de \(f(x)\) sur tout l'intervalle.
Figure. 10 - Surface délimitée par \(f(x)=\sin x\) et \(g(x)=\cos x+1\)
Étape 2 : Établir l'intégrale. Puisque \N(g(x)\Nse trouve au-dessus de \N(f(x)\N), tu devras soustraire \N(f(x)\Nde \N(g(x)\N).
\N[\Nbegin{align}\Ntext{Area} & = \Nint_{\pi}^{2\pi} (g(x) - f(x)) \N-& = \Nint_{\pi}^{2\pi} \Nà gauche( \Ncos{x} + 1 - 4\Nsin{x} \Nà droite) \N- \Nmathrm{d}x\Nend{align}\N]
Étape 3 : évaluer l'intégrale.
\[\begin{align}\text{Area} & = \int_{\pi}^{2\pi} \left( \cos{x} + 1 - 4\sin{x} \right) \, \mathrm{d}x \& = \left. \Ngauche( \Nsin{x} + x + 4\Ncos{x} \Ndroite) \Ndroite|_{\pi}^{2\pi} \N& = \pi + 8 \N = 11.14\Nend{align}\N]
Aire entre deux courbes polaires
L'aire de la région d'une courbe polaire \(f(\theta)\) qui est limitée par les rayons \(\theta = \alpha\) et \(\theta = \beta\) est donnée par :
\[\frac{1}{2}] \int_{\theta}^{\beta} r^{2} \, \mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_{\theta}^{\beta} f(\theta)^2 \, \mathrm{d}\theta\]
Il s'ensuit que la formule pour calculer l'aire entre deux courbes polaires est :
Si \(f(\theta)\) est une fonction continue, alors l'aire délimitée par une courbe de forme polaire \(r = f(\theta)\) et les rayons \(\theta = \alpha\) et \(\theta = \beta\) (avec \(\alpha < \beta\)) est égale à.
$$ \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left (f_2(\theta)^2 - f_1(\theta)^2 \right) \, \mathrm{d}\theta $$.
Une explication plus détaillée de l'aire sous les courbes polaires se trouve dans l'article Aire des régions délimitées par des courbes polaires.
Aire entre deux courbes - Principaux enseignements
- L'aire entre deux courbes par rapport à l'axe \(x) est donnée par \(\text{Area} = \int_a^b \left( f(x) - g(x) \right) \, \mathrm{d}x \), où :
- \N(f(x) \Ngeq g(x) \N) sur l'intervalle \N([a,b]\N).
- L'aire entre deux courbes par rapport à l'axe \N(y) est donnée par \N(\Ntext{Area} = \Nint_c^d \Ngauche( g(y) - h(y) \Ndroite) \N, \Nmathrm{d}x \N), où :
- \N(g(y) \Ngeq h(y)\N) sur l'intervalle \N([c,d]\N).
- Prends en compte l'aire signée lorsque tu calcules l'aire entre deux courbes par rapport à l'axe \(y\). L'aire signée à gauche de l'axe \N(y\N) est négative, et l'aire signée à droite de l'axe \N(y\N) est positive.
- Si aucun intervalle n'est donné, il peut être déterminé en calculant les ordonnées des graphiques donnés.
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