Limites de fonctions
Connaître la notion de limite de fonction est essentiel pour comprendre le théorème des valeurs intermédiaires. Rappelons ce concept central.
Considérons la fonction \(f(x) = x^2\).
\(f(1) = 1\)
\(f(10) = 100\)
\(f(1 000) = 1 000 000\)
Lorsque \(x\) s'approche de \(+\infty\), \(f(x)\) s'approche de \(+\infty\) également. Nous pouvons ainsi dire que la fonction \(f(x) = x^2\) a pour limite \( +\infty\).
La limite d'une fonction \(f(x)\) est la valeur qu'elle approche lorsque \(x\) devient de plus en plus proche d'une valeur donnée. Nous pouvons également dire que la fonction « tend vers » sa limite. Nous utilisons la notation suivante : \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \] ce qui signifie que la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\) est égale à \(\ell\).
Il y a des définitions plus rigoureuses de la limite d'une fonction en une valeur donnée. En mathématiques avancées, nous utilisons la définition « epsilon-delta ». En effet, la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(x_0\) est \(\ell\), si et seulement si, pour tout \( \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*}\), il existe un \(\delta\) tel que, pour tout \(x\) dans le domaine de definition de \(f\), nous avons l'implication suivante : \[ |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - \ell| < \varepsilon\]
La notion de limite permet de définir un des concepts clés de l'analyse mathématique : la continuité.
La continuité et le théorème des valeurs intermédiaires
Une des propriétés fondamentales des fonctions mathématiques est la continuité. La continuité est une hypothèse nécessaire pour beaucoup de théorèmes, en l'occurrence le théorème des valeurs intermédiaires, ou TVI. Une fonction satisfait la caractéristique de continuité si la limite en une valeur donnée est égale à la valeur de la fonction.
Une fonction \(f(x)\) est continue en un point si \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
Une fonction est continue sur un intervalle \(I\) si la fonction est continue en tout \(x \in I\).
Si une fonction n'est pas continue en un point ou sur un intervalle, elle y est discontinue.
En général, la plupart des fonctions que tu étudieras seront continues. Ainsi, le théorème des valeurs intermédiaires s'appliquera presque toute fonction que tu rencontreras. Faisons un détour pour regarder quelques exemples de discontinuité.
Fig. 1 - La courbe représentative de la fonction inverse
La fonction inverse est discontinue en \(x= 0\). En effet, cette fonction n'est pas continue en \(0\) pour deux raisons. D'abord, la fonction inverse n'est pas définie en \(0\). De plus, elle n'a pas de limite en \(x=0\), comme elle ne tend pas vers une seule valeur. En revanche, nous pouvons dire que la limite à droite est \(+\infty\) et la limite à gauche est \(-\infty\).
Fig. 2 - La représentation graphique d'une fonction en escalier
Une fonction en escalier est une fonction qui prend un nombre fini de valeurs sur des intervalles. La représentation graphique de la fonction en escalier ci-dessus présente certains « sauts ». À chaque saut, la fonction y est discontinue. Comme la fonction inverse au voisinage de \(x =0\), la limite à gauche est différente de la limite à droite. Ainsi, la limite n'existe pas.
Comme pour les limites, il y a des caractérisations plus poussées de la continuité qui reposent notamment sur des suites ou des ensembles ouverts.
Ces connaissances en matière de limites de fonctions et de continuité te permettront d'aborder le théorème des valeurs intermédiaires.
Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires aux fonctions continues
Le théorème des valeurs intermédiaires, ou TVI, ne s'applique qu'aux fonctions continues. Avant d'énoncer le TVI, nous expliciterons comment savoir ou démontrer qu'une fonction est continue. Il faut garder à l'esprit que nous utilisons rarement la définition de la continuité pour savoir qu'une fonction est continue.
Tout d'abord, nous exploitons le fait que les fonctions usuelles, ou fonctions de référence sont continues sur leurs domaines de définition respectifs. De plus, la somme, la différence, le produit, le quotient ou une composition de fonctions continues est également continue.
La fonction \(f(x) = e^x + x^2 \sin(2x + 5)\) est une fonction continue. En effet, la fonction exponentielle, la fonction sinus et les polynômes sont des fonctions usuelles (et donc, continues). Comme \(\sin(2x + 5)\) est une composition de fonctions continues, elle est continue. Similairement, \(x^2 \sin(2x + 5)\) est le produit de fonctions continues. Enfin, \(f\) est la somme de fonctions continues et est donc continue, elle-même.
Si une fonction est dérivable, alors elle est également continue. L'inverse n'est pas forcément vrai.
Maintenant tu sais identifier des fonctions continues, auxquelles tu peux appliquer le TVI. Le théorème des valeurs intermédiaires précise que pour une fonction continue \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout nombre réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) tel que \(f(c) = k\).
Considérons la fonction \(f(x) = e^x + x^2 \sin(2x + 5)\) et l'intervalle \([0,1]\). D'après l'exemple précédent, il s'agit d'une fonction continue. Comme \(f(0) = 1\) et \(f(1) = 3{,}38\), le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure qu'il y a au moins un nombre réel \(c\) telle que \(f(c) = 2\).
Nous pouvons également utiliser le TVI pour démontrer qu'il existe une solution d'une équation et pour l'encadrer, c'est-à-dire, de la placer entre deux valeurs.
À l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons démontrer qu'il y a au moins une solution de l'équation \(x^3 +3x^2 -1 = 0\).
Si nous considérons la fonction \(g(x) = x^3 +3x^2 -1\), nous avons \(g(0) = 1\) et \(g(1) = 3\).
Il y a donc au moins une valeur de \(x \in [0,1]\), telle que \(f(x) = 0\).
Ainsi, il y a au moins une solution de l'équation \(x^3 +3x^2 -1 = 0\).
Dans l'exemple précédent, nous avons appliqué le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer qu'il existe une solution dans un certain intervalle. Pour démontrer qu'il existe une unique solution, il faut utiliser un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Pour comprendre ce corollaire, il faut connaître (ou se rappeler) le concept de sens de variation d'une fonction.
Sens de variation d'une fonction
Préciser le sens de variation d'une fonction revient à déterminer si la fonction est croissante ou décroissante.
Une fonction \(f\) est croissante (ou décroissante) sur un intervalle \(I\) si pour \(x\) et \(y\), tels que \(x, y \in I\) et \(x \leq y\), alors \(f(x) \leq f(y)\) (ou \(f(x) \geq f(y)\)).
Si les inégalités précédentes sont des inégalités strictes, alors nous pouvons dire que la fonction est strictement croissante ou décroissante.
Dans tous ces cas, la fonction est dite monotone.
Une fonction peut être ni croissante ni décroissante.
Une fonction est croissante si sa dérivée est positive. À l'inverse, si sa dérivée est négative, la fonction est décroissante.
Considérons la fonction \(x^2\). Sa dérivée est \(2x\), qui est négative lorsque \(x \leq 0\) et positive lorsque \(x \geq 0\). Cette fonction est donc croissante sur l'intervalle \(]-\infty, 0]\) et décroissante sur l'intervalle \([0,+\infty[\).
La propriété de monotonie est une condition nécessaire au théorème de la bijection, un corollaire important du théorème des valeurs intermédiaires.
Théorème de la bijection
Le théorème de la bijection précise que pour une fonction continue et monotone \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un unique réel \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = k\). Il s'agit d'un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, ou TVI.
Un corollaire du TVI
Il y a plusieurs corollaires du TVI. Or, le théorème de la bijection est probablement le plus important. L'ajout d'un hypothèse de monotonie sur la fonction étudiée résulte dans l'unicité de la solution \(k\). Cela est illustré ci-dessous.
Fig. 3 - Une fonction continue non-monotone sur un intervalle peut avoir plusieurs antécédents qui correspondent à une valeur de la fonction
Fig. 4 - Une fonction continue et monotone vérifie le théorème de la bijection
Le théorème de la bijection s'utilise notamment pour démontrer l'existence d'une unique solution d'une équation.
Considérons l'équation \(e^{2x^3 + 5} = 1\). La fonction \(f(x) = e^{2x^3 + 5}\) est une fonction continue et dérivable.
Calculons sa dérivée : \(f'(x) = 6x^2e^{2x^3 + 5}\).
Comme la fonction exponentielle et les polynômes de puissance paire sont toujours positives, \(f'(x)\) est positive.
Ainsi, \(f(x)\) est croissante, donc monotone et nous pouvons appliquer le théorème de la bijection.
Il faut maintenant trouver un intervalle \([a,b]\), tel que \(f(a) < 1 < f(b)\). L'intervalle \([-2,-1]\) vérifie cette condition. En effet, \(f(-2) = 0{,}00002\) et \(f(-1) = 20{,}1\).
Par le théorème de la bijection, il existe donc une unique solution de cette équation.
Théorème des valeurs intermédiaires - Points clés
- La limite d'une fonction \(f(x)\) est la valeur qu'elle approche lorsque \(x\) devient de plus en plus proche d'une valeur donnée.
- Une fonction \(f(x)\) est continue en un point si \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
- Le théorème des valeurs intermédiaires précise que pour une fonction continue \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) tel que \(f(c) = k\).
- Dans tous ces cas, la fonction est dite monotone.
- Le théorème de la bijection précise que pour une fonction continue et monotone \(f: [a,b] \to \mathbb{R}\) et pour tout réel \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe un unique réel \(c \in [a,b]\) tel que \(f(c) = k\).
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