Représentation paramétrique

Qu'est-ce qu'une équation cartésienne ?

Contrairement à des équations paramétriques, les équations cartésiennes sont des équations qui relient algébriquement les coordonnées des points d'une forme géométrique, sans utiliser de paramètre et sans être écrites sous forme de système. Il se peut que tu te demandes donc pourquoi nous utilisons des équations paramétriques. En effet, pour certaines formes, en particulier les droites dans l'espace, la représentation paramétrique nous donne des équations plus faciles à manipuler.

Examinons maintenant les détails pour comprendre la représentation paramétrique.

Comprendre la représentation paramétrique d'une droite

La représentation paramétrique d'une droite passant par le point \((x_0, y_0, z_ 0)\) et avec vecteur directeur est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\) est \[\begin{cases} x = x_ 0 + ut \\ y = y_0 + vt \\ z = z_0 + wt \end{cases}\]

Nous pouvons déterminer la représentation paramétrique de n'importe quelle forme géométrique. Or, nous travaillons souvent avec les droites et les plans. Il faut donc être en mesure de reconnaître et de manipuler la représentation paramétrique d'une droite.

En utilisant la relation ci-dessus, il est possible de déterminer la représentation paramétrique d'une droite. Or, tu peux aussi obtenir la représentation paramétrique d'une droite à partir de deux points.

Obtenir la représentation paramétrique d'une droite à partir de deux points

Il est possible d'obtenir la représentation paramétrique d'une droite à partir de deux points. En effet, une droite — qu'elle soit dans le plan ou dans l'espace — est entièrement déterminée par deux points. Voici un exemple de comment utiliser deux points d'une droite pour obtenir son équation.

Voyons maintenant des aspects clés concernant la représentation paramétrique d'un plan.

Déterminer la représentation paramétrique d'un plan

Pour définir un plan, nous pouvons utiliser un point sur le plan \((x_0, y_0, z_0)\), ainsi que deux vecteurs directeurs non-colinéaires \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} u' \\ v' \\ w' \end{pmatrix}\). Pour \(t,t' \in \mathbb{R}\), la représentation paramétrique d'un plan prend la forme \[\begin{cases} x = x_0 + ut + u't' \\ y = y_0 + vt + v't' \\ z = z_0 + wt + w't' \end{cases}\]

Nous pouvons également utiliser trois points afin de définir un plan. Si nous disposons de trois points non-colinéaires dans le plan \(A(x_A, y_A, z_A)\), \(B(x_B, y_B, z_B)\) et \(C(x_C, y_C, z_C)\), nous pouvons obtenir la représentation paramétrique d'un plan comme suit : \[\begin{cases} x - x_A = t(x_B - x_A) + t'(x_C - x_A) \\ y - y_A = t(y_B - y_A) + t'(y_C - y_A) \\ z - z_A = t(z_B - z_A) + t'(z_C - z_A) \end{cases}\] avec \(t\) et \(t'\) les paramètres.

Même si la représentation paramétrique d'un plan peut être plus pratique dans certains cas, une équation cartésienne d'un plan a une forme plus simple.

Déterminer une équation cartésienne d'un plan

Soit \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) un vecteur normal à un plan. Une équation cartésienne d'un plan est de la forme \(ax +by + cz + d = 0 \), où la constante \(d \in \mathbb{R}\) est à déterminer en utilisant un point sur le plan.

Pour obtenir une représentation paramétrique à partir d'une équation cartésienne, il suffit de déterminer trois points non-colinéaires du plan et utiliser la formule présentée dans la section précédente.

Nous travaillons souvent avec les équations cartésiennes des plans, mais moins avec les équations cartésiennes des droites dans l'espace. Même si ces dernières sont moins utilisées, il est important de pouvoir les identifier.

Utiliser une équation cartésienne d'une droite

Considérons une droite qui passe par le point \((x_0, y_0, z_ 0)\) et dont un vecteur directeur, avec aucun coeffient nul, est \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\). Une équation cartésienne de cette droite est : \[\frac{x - x_0}{u} = \frac{y - y_0}{v} = \frac{z - z_0}{w}\] Pour obtenir une représentation paramétrique à partir d'une équation cartésienne, nous devons d'abord identifier un vecteur directeur, ainsi qu'un point de la droite. Cela nous permettra de les utiliser dans la formule donnée antérieurement dans ce résumé de cours.