Logarithme népérien

Le logarithme népérien et ses formules utiles

Il faut connaître certaines formules pour manipuler le logarithme népérien. Heureusement, ces formules sont valables pour les logarithmes de n'importe quelle base. Soient \(x\) et \(y\) des nombres réels strictement positifs, avec \(n\) un nombre entier.

• \(\ln \frac{1}{x} = - \ln x \)

• \(\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x \)

• \(\ln x^n = n \ln x \)

• \(\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y \)

Toutes ces formules peuvent être déduites de la relation fonctionnelle : \( \ln xy = \ln x + \ln y \).

Démonstration de la relation fonctionnelle du logarithme népérien

La relation fonctionnelle est très simple à démontrer. Soient \(a\) et \(b\) des nombres strictement positifs.

\(e^{\ln xy}\)

\(= xy\)

\(= e^{\ln x} e^{\ln y}\)

\(= e^{\ln x + \ln y}\)

En comparant les exposants au début et à la fin, nous obtenons la relation fonctionnelle du logarithme népérien : \( \ln xy = \ln x + \ln y \).

Il ne suffit pas de connaître ces formules : il faut savoir également comment les utiliser.

Effectuer des calculs avec le logarithme népérien

Dans cette section, nous te montrerons comment utiliser des formules pour effectuer des calculs avec le logarithme népérien.

À part les calculs avec le logarithme népérien, nous pouvons également utiliser des formules pour démontrer certaines relations.

Par ailleurs, nous pouvons également considérer la fonction logarithme népérien comme une fonction en soi.

Qu'est-ce que la fonction logarithme népérien ?

Comme prendre le logarithme d'un nombre est l'inverse de le mettre en exposant, ce n'est pas surprenant que la fonction logarithme népérien soit la bijection réciproque de la fonction exponentielle.

Rappelle-toi que la représentation graphique de la réciproque d'une fonction est sa réflexion dans la droite \(y = x\). Ici, la courbe de la fonction logarithme népérien est la réflexion de la courbe de la fonction exponentielle — et inversement.

Fig. 1 - Les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle

Nous pouvons voir du graphique ci-dessus que la fonction logarithme népérien est une fonction croissante. Or, la croissance de la fonction logarithme népérien est généralement moins vite que les fonctions polynômes et exponentielles croissantes. Cela affecte la manière dont nous traitons des limites.

Croissances comparées avec le logarithme népérien

Lorsque \(x\) tend vers \(0\), \(\ln x\) tend vers \(-\infty\). Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\ln x\) tend vers \(+\infty\). Or, ces propriétés ne suffisent pas pour déterminer des limites qui contiennent la fonction logarithme népérien. Nous devrons nous servir également des propriétés suivantes, souvent appelées les croissances comparées. Pour un entier naturel non nul \(n\) :

• \(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0\) ;

• \(\lim_{x \to 0, x > 0} x^n \ln x = 0\).

La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur son ensemble de définition. Quelle est donc sa dérivée ?

Quelle est la dérivée de ln(x) ?

La dérivée du logarithme est la fonction inverse. Autrement dit, si \(f(x) = \ln x\), alors \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Penchons-nous alors sur la dérivation des fonctions qui contiennent le logarithme népérien. Un cas de figure qui est très habituel est celui d'un logarithme composé d'un polynôme.

En général, si \(u(x)\) est une fonction dérivable et à valeurs positives, alors la dérivée de \(\ln u\) est \(\frac{u'}{u}\).