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Les tremblements de terre, la radioactivité et l'acidité : quel est le point commun entre ces trois choses ? Nous nous servons des logarithmes pour les modéliser. Un logarithme est une opération mathématique très couramment utilisée. Dans ce résumé de cours, nous détaillerons d'abord quelques propriétés du logarithme népérien, ainsi que quelques formules utiles. Nous montrerons ensuite comment effectuer des calculs à l'aide des ces formules. Enfin, nous présenterons la fonction logarithme népérien et sa dérivée.
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Inscris-toi gratuitementLa fonction logarithme népérien est ___.
Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\ln x\) tend vers \(+\infty\).
La croissance de la fonction logarithme népérien est généralement moins vite que les fonctions polynômes et exponentielles croissantes
La fonction népérien est dérivable, mais pas continue.
Quelle relation est fausse ?
La fonction logarithme est toujours positive.
La fonction logarithme n'est définie que pour des nombres positifs.
La fonction logarithme népérien est ___.
Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\ln x\) tend vers \(+\infty\).
La croissance de la fonction logarithme népérien est généralement moins vite que les fonctions polynômes et exponentielles croissantes
La fonction népérien est dérivable, mais pas continue.
Quelle relation est fausse ?
La fonction logarithme est toujours positive.
La fonction logarithme n'est définie que pour des nombres positifs.
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Équipe enseignants Logarithme népérien
Prendre le logarithme d'un nombre est l'inverse de le mettre en exposant.
Soit \(a\) un nombre réel strictement positif. Le logarithme de base \(b\) de \(a\), noté \(\log_b a\) est la puissance à laquelle il faut élever \(b\) pour obtenir \(a\).
Sais-tu comment déterminer \(\log_{10} 100\) ?
Comme \(10^2 = 100\), alors \(\log_{10} 100 = 2\).
Similairement, \(\log_4 2= \frac{1}{2}\).
Lorsque la base d'un logarithme est le nombre d'Euler, \(e\), nous écrivons \(\ln\) au lieu de \(\log_e\). Ce logarithme est alors appelé logarithme naturel ou logarithme népérien.
En général, nous calculons le logarithme népérien d'un nombre à l'aide d'une calculatrice. Or, il y a certaines propriétés importantes qui sont utiles dans la simplification d'expressions algébriques :
comme \(e^0 = 1\), nous avons \(\ln 1 = 0\) ;
comme \(e^1 = e\), alors \(\ln e = 1\) ;
\(e^{\ln x} = x\), par définition ;
\(\ln e^x = x\), pour des raisons similaires.
Il faut garder à l'esprit que nous ne pouvons que prendre le logarithme des nombres positifs.
Il y a plusieurs formules utiles qui découlent de ces propriétés.
Il faut connaître certaines formules pour manipuler le logarithme népérien. Heureusement, ces formules sont valables pour les logarithmes de n'importe quelle base. Soient \(x\) et \(y\) des nombres réels strictement positifs, avec \(n\) un nombre entier.
\(\ln \frac{1}{x} = - \ln x \)
\(\ln \sqrt{x} = \frac{1}{2} \ln x \)
\(\ln x^n = n \ln x \)
\(\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y \)
Toutes ces formules peuvent être déduites de la relation fonctionnelle : \( \ln xy = \ln x + \ln y \).
La relation fonctionnelle est très simple à démontrer. Soient \(a\) et \(b\) des nombres strictement positifs.
\(e^{\ln xy}\)
\(= xy\)
\(= e^{\ln x} e^{\ln y}\)
\(= e^{\ln x + \ln y}\)
En comparant les exposants au début et à la fin, nous obtenons la relation fonctionnelle du logarithme népérien : \( \ln xy = \ln x + \ln y \).
Il ne suffit pas de connaître ces formules : il faut savoir également comment les utiliser.
Dans cette section, nous te montrerons comment utiliser des formules pour effectuer des calculs avec le logarithme népérien.
Peux-tu simplifier \( \ln e^2 - \ln \sqrt{e} \) ?
\( \ln e^2 - \ln \sqrt{e} \)
\(=2 \ln e - \frac{1}{2} \ln e \)
\(=\frac{3}{2} \ln e \)
\(=\frac{3}{2}\)
À part les calculs avec le logarithme népérien, nous pouvons également utiliser des formules pour démontrer certaines relations.
Es-tu capable démontrer que \(\ln(x^2 - y^2) = \ln(x + y) + \ln(x - y)\) ?
\(\ln(x^2 - y^2) \)
\(= \ln(x + y)(x - y)\)
\(= \ln(x + y) + \ln(x - y) \)
N'hésite pas à rafraîchir tes connaissances en matière de factorisation en consultant notre résumé de cours à ce sujet.
Par ailleurs, nous pouvons également considérer la fonction logarithme népérien comme une fonction en soi.
La fonction logarithme népérien est la fonction \(f(x)\) définie sur l'ensemble \(]0, +\infty[\) par \(f(x)= \ln x\).
Comme prendre le logarithme d'un nombre est l'inverse de le mettre en exposant, ce n'est pas surprenant que la fonction logarithme népérien soit la bijection réciproque de la fonction exponentielle.
Rappelle-toi que la représentation graphique de la réciproque d'une fonction est sa réflexion dans la droite \(y = x\). Ici, la courbe de la fonction logarithme népérien est la réflexion de la courbe de la fonction exponentielle — et inversement.
Fig. 1 - Les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle
Nous pouvons voir du graphique ci-dessus que la fonction logarithme népérien est une fonction croissante. Or, la croissance de la fonction logarithme népérien est généralement moins vite que les fonctions polynômes et exponentielles croissantes. Cela affecte la manière dont nous traitons des limites.
Lorsque \(x\) tend vers \(0\), \(\ln x\) tend vers \(-\infty\). Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\ln x\) tend vers \(+\infty\). Or, ces propriétés ne suffisent pas pour déterminer des limites qui contiennent la fonction logarithme népérien. Nous devrons nous servir également des propriétés suivantes, souvent appelées les croissances comparées. Pour un entier naturel non nul \(n\) :
\(\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0\) ;
\(\lim_{x \to 0, x > 0} x^n \ln x = 0\).
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur son ensemble de définition. Quelle est donc sa dérivée ?
La dérivée du logarithme est la fonction inverse. Autrement dit, si \(f(x) = \ln x\), alors \(f'(x) = \frac{1}{x}\). Penchons-nous alors sur la dérivation des fonctions qui contiennent le logarithme népérien. Un cas de figure qui est très habituel est celui d'un logarithme composé d'un polynôme.
Peux-tu déterminer la dérivée de \(f(x) = \ln(3x^2 + 5x + 1)\) ?
Comme il s'agit d'une fonction composée, nous devons multiplier la dérivée de la fonction « interne » (\(3x^2 + 5x + 1\)) par la dérivée de la fonction « externe » (\(\ln\)).
Nous obtenons ainsi :
\(f'(x) = 6x + 5 \times \frac{1}{3x^2 + 5x + 1}\)
\(f'(x) = \frac{6x + 5}{3x^2 + 5x + 1}\)
En général, si \(u(x)\) est une fonction dérivable et à valeurs positives, alors la dérivée de \(\ln u\) est \(\frac{u'}{u}\).
\(\log_b a\) est la puissance à laquelle il faut élever \(b\) pour obtenir \(a\). Lorsque \(b = e\), nous écrivons \(\ln\) et il s'agit alors du logarithme népérien.
Voici quelques propriétés clés du logarithme népérien :
\(\ln 1 = 0\) ;
\(ln e = 1\) ;
\(e^{\ln x} = x\) ;
\(\ln e^x = x\).
Il y a aussi certaines formules qui facilitent le calcul avec le logarithme népérien :
\( \ln(xy) = \ln x + \ln y \) ;
\(\ln x^n = n \ln x \) ;
\(\ln \frac{x}{y} = \ln x - \ln y \).
La fonction logarithme népérien est définie sur l'ensemble \(]0, +\infty[\) par \(f(x)= \ln x\). Elle est croissante, continue et dérivable.
La dérivée du logarithme est la fonction inverse. Plus généralement, si \(u(x)\) est une fonction dérivable et à valeurs positives, alors la dérivée de \(\ln u\) est \(\frac{u'}{u}\).
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Quelle est la différence entre log et ln ?
log est employé lorsque la base est 10 et ln est utilisé lorsque la base est e.
Comment calculer le logarithme népérien d'un nombre ?
Il y a des formules que nous pouvons utiliser pour simplifier des expressions avec le logarithme népérien. Or, s'il s'agit de calculer le logarithme népérien d'un nombre donné, nous utilisons une calculatrice.
Quelle est l'inverse de ln ?
L'inverse de ln est la fonction exponentielle, exp(x).
Quel est l'ensemble de définition de la fonction logarithme népérien ?
L'ensemble de définition de la fonction logarithme népérien est l'ensemble des réels strictement positifs.
Est-ce que ln est toujours positive ?
La fonction logarithme népérien ln n'est pas toujours positive, mais elle n'est définie que pour des nombres positifs.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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