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Sais-tu que la fonction inverse fait partie des fonctions usuelles, ce sont des fonctions simples qui servent à étudier des fonctions plus compliquées. Que faut-il donc connaître à propos de la fonction inverse ? Dans ce résumé de cours, nous parlerons d'abord des fonctions de référence : de quoi il s'agit et pourquoi les étudier. Par la suite, nous examinerons la formule pour la fonction inverse et nous construirons son tableau de variations. Deux concepts géométriques en lien avec la fonction inverse seront ensuite expliqués : l'hyperbole et les asymptotes.
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Inscris-toi gratuitementLa fonction inverse est sa propre bijection réciproque.
Il y a trois types d'asymptotes.
La courbe représentative de la fonction inverse possède une asymptote horizontale et une asymptote verticale.
La dérivée de la fonction inverse est toujours négative.
La fonction inverse est une fonction de référence.
La fonction inverse est sa propre bijection réciproque.
Il y a trois types d'asymptotes.
La courbe représentative de la fonction inverse possède une asymptote horizontale et une asymptote verticale.
La dérivée de la fonction inverse est toujours négative.
La fonction inverse est une fonction de référence.
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Équipe enseignants Fonction inverse
Une fonction de référence (ou fonction usuelle) est une fonction que nous étudions car elle est simple et nous permet de déduire des propriétés de fonctions plus complexes. Parmi ces fonctions, nous trouvons habituellement les fonctions affines, la fonction racine carrée, la fonction inverse et les fonctions exponentielle et logarithme. Pour les fonctions de référence, il est important de connaître leur formule, leurs variations, ainsi que leurs caractéristiques de leurs courbes représentatives.
En algèbre, l'inverse (multiplicatif) d'un nombre \(a\) est \(\frac{1}{a}\). Comme la division par \(0\) n'est pas définie, cette définition ne s'applique pas à \(0\). Cette idée est essentiellement la formule de la fonction inverse.
L'ensemble de définition de la fonction inverse est \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\).
La formule pour la fonction inverse est \(f(x) = \frac{1}{x}\).
La fonction inverse est sa propre bijection réciproque.
L'image de \(5\) par la fonction inverse est \(\frac{1}{5}\).
De même, l'antécédent de \(5\) par la fonction inverse est \(\frac{1}{5}\). En effet, \(\frac{1}{\frac{1}{5}} = 1 \times \frac{5}{1}\)
À part sa formule, nous devons également connaître le tableau de variations pour la fonction inverse.
Construisons le tableau de variations de la fonction inverse. Pour cela, nous devons considérer la dérivée de la fonction inverse. N'hésite pas à te rafraîchir les idées sur la dérivation et les formules de dérivation en consultant nos résumés de cours à ces sujets.
Voici comment nous déterminons la dérivée de la fonction inverse. \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) -f(x)}{h} \] Pour \(f(x) = \frac{1}{x}\), nous avons :
\( \frac{f(x+h) -f(x)}{h}\)
\(= \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} \)
\( = \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \)
\( = \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} \)
\( = \frac{-h}{x(x+h)} \times \frac{1}{h} \)
\( = \frac{-1}{x(x+h)} \)
Lorsque \(h\) tend vers \(0\), cette dernière expression tends vers \(\frac{-1}{x(x+0)} \). Ainsi, \(f'(x) = \frac{-1}{x^2}\).
D'abord, rappelle-toi que \(x^2\) est positif pour tout nombre réel. La dérivée de la fonction inverse est donc négative. Comme la fonction dérivée est négative, nous pouvons en déduire que la fonction inverse est décroissante sur \(] -\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[\).
Fig. 1 - Tableau de variations de la fonction inverse
Observe que \(- \infty\), \(0\) et \(+\infty\) ne sont pas inclus dans ces intervalles. En effet, \(- \infty\) et \(+ \infty\) ne sont pas des nombres réels. De plus, la fonction inverse n'est pas définie pour \(0\).
Nous pouvons visualiser les variations d'une fonction à l'aide de sa courbe représentative.
En mathématiques, il est utile de savoir identifier les graphiques des fonctions de référence, ainsi que de connaître les propriétés importantes. Examinons donc la courbe représentative de la fonction inverse.
Fig. 2 - La courbe représentative de la fonction inverse
Cette courbe est en accord avec le tableau de variations. En effet, nous pouvons constater que la fonction est décroissante partout sauf en \(0\). De plus, cette courbe est appelée une hyperbole.
La courbe représentative de la fonction inverse est appelée hyperbole de centre \(0\).
Il y a plusieurs façons de définir une hyperbole. Une façon consiste à considérer la distance des points sur l'hyperbole par rapport à deux points, appelés foyers. Nous pouvons ainsi définir une hyperbole comme l'ensemble de points dont la différence des distances aux foyers est la même.
Le but de l'analyse mathématique est souvent d'étudier le comportement d'une fonction aux bornes de son ensemble de définition. Cela nous amène souvent à considérer les asymptotes à la courbe représentative d'une fonction.
Une droite asymptote (ou simplement une asymptote) est une droite qui approche infiniment la courbe représentative d'une fonction, sans la toucher.
En regardant la courbe représentative de la fonction inverse (aussi appelée hyperbole), plus la valeur de \(x\) approche \(+\infty\), plus la courbe approche l'axe des abscisses. De même, plus la valeur de \(x\) est proche de \(-\infty\), plus le graphique semble toucher l'axe des abscisses. Dans ces deux cas, nous pouvons dire que l'axe des abscisses, \(y = 0\), est une asymptote à la courbe représentative de la fonction inverse.
Nous distinguons souvent les asymptotes horizontales, les asymptotes verticales et les asymptotes obliques. La courbe de la fonction inverse possède une asymptote verticale à \(x=0\) et une asymptote horizontale quand \(x\) approche \(+\infty\) ou \(- \infty\).
Fig. 3 - La fonction inverse et ses droites asymptotes
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Quel est le sens de variation de la fonction inverse ?
La fonction inverse est décroissante pour tout nombre réel à l'exception de 0.
Quel est l'ensemble de définition de la fonction inverse ?
L'ensemble de définition de la fonction inverse est les nombres réels, privé de 0.
Comment tracer la courbe de la fonction inverse ?
Pour tracer la courbe de la fonction inverse, il faut déterminer une dizaine de points qui sont sur la courbe à l'aide de la formule. Ensuite, il faut les relier en suivant la forme générale du graphique de la fonction.
Comment savoir quelle est la valeur interdite ?
Une valeur interdite est une valeur pour laquelle une fonction n'est pas définie. Il s'agit souvent de la valeur qui fait que le dénominateur soit 0. Par exemple, la valeur interdite de la fonction inverse est 0.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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