Exponentielle et logarithme

Exponentielle et logarithme : relation

Quelle est la relation entre les fonctions exponentielle et logarithme ? La fonction exponentielle est la fonction inverse (ou bijection réciproque) du logarithme népérien, et vice-versa. En effet, \(ln(e^x) = x\) et \(ln(e^x) = x \). De plus, si nous examinons leurs courbes représentatives, elles sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).

Fig. 1 - Les courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme

Exponentielle et logarithme : cours

Détaillons les informations importantes qu'il faut savoir sur les fonctions exponentielle et logarithme.

Le domaine de définition de la fonction exponentielle est \(\mathbb{R}\). Or, le logarithme népérien n'est défini que pour des nombres réels strictement positifs. De plus, les fonctions exponentielle et logarithme sont dérivables, et donc continues sur leurs domaines de définition.

La dérivée de \(exp(x)\) est elle-même, alors que la dérivée de \(ln(x)\) est \(\frac{1}{x}\). En utilisant la dérivée d'une composition de fonctions, nous pouvons généraliser ces résultats pour une fonction dérivable \(u(x)\).

Nous pouvons utiliser les dérivées de l'exponentielle et du logarithme pour étudier les sens de variation de ces deux fonctions. Comme \(exp(x)\) et \(\frac{1}{x}\) sont positives sur les ensembles de définition de \(exp(x)\) et \(ln(x)\) respectivement, ces deux fonctions sont croissantes.

Propriétés du logarithme et de l'exponentielle

Pour manipuler ces fonctions avec aisance, il y a certaines règles à connaître. Quelles sont les propriétés du logarithme et de l'exponentielle ? Voyons d'abord les propriétés de l'exponentielle, \(exp(x)\), qui sont très similaires aux règles pour les puissances.

1. \(exp(0) = 1\)

2. \(exp(1) = e\)

3. \(exp(a+b) = exp(a)exp(b)\)

4. \(exp(na) = (exp(a))^n\)

Pour se souvenir des propriétés du logarithme, nous pouvons nous servir du fait que le logarithme népérien, \(ln(x)\), est la fonction inverse ou la bijection réciproque de la fonction exponentielle.

1. \(ln(1) = 0\)

2. \(ln(e) = 1\)

3. \(ln(ab) = ln(a) + ln(b)\)

4. \(ln(a^n) = n ln(a)\)

Limites de l'exponentielle et du logarithme

L'étude d'une fonction n'est pas complète sans déterminer les limites aux points où elle n'est pas définie. Les limites de l'exponentielle et du logarithme en \(+ \infty \) sont \(+ \infty \). De plus, la limite de la fonction exponentielle en \(- \infty \) est \(0\) et la limite de la fonction logarithme en \(0\) est \(- \infty \).

Même si les fonctions exponentielle et logarithme tendent toutes les deux vers \(+ \infty\) quand \(x\) tend vers \(+ \infty\), elles évoluent à des vitesses différentes. Il est donc important de connaître les croissances comparées de l'exponentielle, du logarithme et des polynômes.

• La fonction exponentielle augmente le plus rapidement. En effet, pour tout réel \(n\) strictement positif, nous avons les résultats suivants pour des limites : \[\lim_{x \to + \infty} \frac{e^x}{x^n} = + \infty \hspace{20 mm} \lim_{x \to - \infty} e^{x} x^{n} = 0 \] Nous disons souvent que l'exponentielle gagne, ou emporte, sur une puissance.

• La fonction logarithme augmente le plus lentement. Nous avons ainsi des résultats similaires qui portent sur les limites : \[\lim_{x \to + \infty} \frac{ln(x)}{x^n} = 0 \hspace{20 mm} \lim_{\substack{x\to\infty\\x>0}} ln(x) x^{n} = 0 \] Pareil ici, nous disons souvent qu'une puissance gagne ou emporte sur le logarithme.