Dérivée d'une fonction composée

Formules de dérivation

Ces formules de dérivation sont plutôt des règles de dérivation. Nous en avons besoins pour pouvoir déterminer les dérivées de fonctions composées. Dans la suite de cette section, \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables et \(x\) est une variable.

• La dérivée d'une somme (ou différence) de fonctions est la somme (ou différence) des dérivées : \((u+v)' = u' + v'\)

• En revanche, la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées : \( (uv)' = u'v + v'u\)

• Enfin, la dérivée d'un quotient de fonctions est donnée par la formule suivante : \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - v'u}{v^2}\)

Il faut garder ces formules de dérivation à l'esprit quand nous effectuons la dérivée d'une fonction composée.

Dérivée d'une fonction composée : formule

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions dérivables et \(x\) une variable. La formule suivante nous donne la dérivée d'une fonction composée : \[ f(g(x))' = g'(x) \times f'(g(x)) \]

Autrement dit, nous devons multiplier la dérivée de la fonction interne \(g\) par la dérivée de la fonction externe \(f\). La formule pour la dérivée d'une fonction composée est encore plus parlante sous une autre forme. Si nous avons \(y\), une fonction de variable \(u\), et si \(u\) est une fonction de variable \(x\), alors : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]

En effet, nous pouvons imaginer que les deux \(du\) s'annulent, même s'il ne faut pas traiter ces dérivées comme des fractions.

Voyons quelques exemples de comment cette formule fonctionne.

Dérivée d'une fonction composée : démonstration

Il y a plusieurs démonstrations pour la dérivée d'une fonction composée et quelques-unes font recours à des concepts mathématiques assez avancés. En effet, les mathématiciens et les mathématiciennes ne sont pas toujours d'accord sur certaines démonstrations. Le but d'une démonstration est néanmoins de justifier l'utilisation d'un théorème, d'un corollaire ou d'une formule. Regardons donc une démonstration qui apaisera l'intuition d'une personne « ordinaire ».

D'abord, remarquons une autre définition de la dérivée : \[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \]

Si nous disposons de deux fonctions \(y\) et \(u\) dérivables telles que \(y\) est une fonction de \(u\) et \(u\) est une fonction de \(x\), alors nous pouvons écrire par les règles basiques de l'algèbre : \[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \times \frac{\Delta u}{\Delta x} \]

En prenant les limites des deux membres quand \(\Delta x\) tend vers \(0\), nous obtenons :

\[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\frac{\Delta y}{\Delta u} \frac{\Delta u}{\Delta x}) \]

\[ \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \times \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} \]

Par définition, \(\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{du}{dx}\). Comme \(u\) est dérivable, elle est également continue. Ainsi, si \( \Delta x \to 0 \), alors \( \Delta u \to 0 \) et donc, \( \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} = \lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} = \frac{dy}{du}\). En remplaçant, nous obtenons enfin :

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]

Cette dernière égalité est la formule pour la dérivée pour une fonction composée. Garde à l'esprit que cette démonstration n'est valable que pour des fonctions à une variable. Or, il est quand-même possible de déterminer la dérivée d'une fonction composée à deux variables.

Dérivée d'une fonction composée à deux variables

Il n'est pas beaucoup plus difficile de calculer la dérivée d'une fonction composée à deux variables (ou plus). Cependant, la formule est légèrement différente. Il faut néanmoins avoir quelques connaissances sur les dérivées partielles. Rappelons brièvement ces idées d'une façon informelle.

Il faut d'abord être au clair sur ce qu'est une fonction à plusieurs variables. Voyons quelques exemples.

Pour les fonctions à plusieurs variables, nous n'avons pas de dérivée tout court, mais nous travaillons avec des dérivées partielles.

Nous pouvons maintenant aborder la formule pour la dérivée d'une fonction composée à deux variables. Considérons deux fonctions, \( f : \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n\) et \(g : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p \). Soient \(g_k\) les composantes de la fonction \(g\), où \(k \in \lbrace 1, 2, ... , p \rbrace \). De plus, soient \(x_i\) les variables de \(g\), avec \(i \in \lbrace 1, 2, ... , m \rbrace \). Les dérivées de la fonction composée \(f(g(x_1, ... , x_m))\) sont données alors par la formule : \[ \frac{(\partial f(g))_j}{\partial x_i} = \frac{(\partial f(g))_j}{\partial g_1 } \times \frac{\partial g_1}{\partial x_i} + ... + \frac{(\partial f(g))_j}{\partial g_p } \times \frac{\partial g_p}{\partial x_i} \]

Voyons un exemple de comment cela fonctionne.