Racine carrée

Calculs avec une racine carrée

Pour faire des calculs avec une racine carrée, il faut garder à l'esprit les règles suivantes :

• \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \) ;

• \(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\).

Ici, \(a\) et \(b\) sont des nombres réels positifs. Voyons alors comment appliquer ces règles à l'aide d'un exemple.

Garde à l'esprit qu'il n'y a pas de règle similaire pour l'addition, ou la soustraction.

Addition de racines carrées

Nous ne pouvons effectuer l'addition de racines carrées qu'entre des racines pareilles. Autrement dit, pour des réels \(m\) et \(n\) et pour \(a\) positif, nous avons \(m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m+n)\sqrt{a}\). Il convient de considérer les racines telles que \(\sqrt{a}\) comme des variables que nous utilisons en algèbre.

Attention ! Il faut garder à l'esprit que la racine carrée d'une somme n'est pas égale à la somme des racines : \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Nous pouvons construire un contre-exemple simple.

Simplification d'une racine carrée

Le but de la simplification d'une racine carrée est d'avoir une expression où le nombre sous la racine est le plus petit possible. Pour cela, nous appliquerons l'ensemble des règles énoncées antérieurement dans ce résumé de cours.

Si nous avons une fraction contenant une racine, la fraction doit être réécrite pour n'avoir aucune racine dans le dénominateur. La forme simplifiée de \(\frac{1}{\sqrt{a}}\) s'obtient en multipliant le numérateur et dénominateur par \(\sqrt{a}\). Cela nous donne \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} \times \sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}\).

Utiliser la conjuguée pour simplifier une racine carrée

Si le dénominateur contient une expression comme \(3 + \sqrt{2}\), nous devrons utiliser la conjuguée de cette expression pour simplifier la racine carrée.

Pour simplifier une fraction avec une racine carrée, nous pouvons multiplier le numérateur et le dénominateur par la conjuguée du dénominateur. Cela convertit le dénominateur en un nombre rationnel puisque \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b\), en vertu de la troisième identité remarquable.

Racine carrée d'un nombre négatif

Tu as déjà peut-être appris à l'école que la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas. Or, ce n'est pas tout à fait vrai. La racine carrée d'un nombre négatif peut se définir à l'aide des nombres complexes, notamment l'unité imaginaire, \(i\).

Grâce à cette définition, il est possible d'en déduire les racines carrées des nombres négatifs. Voyons comment cela fonctionne avec un exemple.

Le symbole \(\pm\) signifie que le nombre qui suit peut être positif ou négatif. Par exemple \(\pm = -2 \ \text{ou} +2\).

Racine carrée en Python

Nous pouvons calculer ou exploiter la racine carrée d'un nombre en Python. Pour cela, nous devons importer la bibliothèque « math » et employer la fonction « sqrt() ». Le nom de cette fonction vient de square root, racine carrée en anglais.