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Puissance et racine carrée

En mathématiques, les puissances et les racines sont des concepts importants qui nous aident à comprendre et à résoudre les équations. Par exemple, lorsque nous élevons un nombre au carré, nous l'élevons en fait à la puissance deux. Et lorsque nous prenons la racine carrée d'un nombre, nous trouvons la valeur qui, lorsqu'elle est multipliée par elle-même, est égale au nombre initial. Ces concepts peuvent sembler abstraits, mais ils peuvent être appliqués de diverses manières dans des situations réelles. Par exemple, en comprenant comment prendre des racines carrées, nous pouvons plus facilement calculer l'aire d'un rectangle ou les longueurs nécessaires dans la construction d'un bâtiment. Les puissances et les racines sont donc des outils essentiels que tu devras maîtriser.

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Last Updated: 22.02.2023
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Que sont les puissances ?

Les puissances sont les exposants auxquels une variable ou un nombre est élevé. Par exemple, l'expression x² se lit comme x à la puissance 2, ou x au carré, ce qui signifie que la valeur de x est multipliée par elle-même autant de fois que la valeur de la puissance ou de l'exposant. Dans ce cas, deux fois.

$x^{2} = x \times x$

Si la valeur de x est 5, nous pouvons calculer x² comme suit :

$x^{2} = 5^{2} = 5 \times 5 = 25$

De même, nous pouvons calculer x³ et x⁴ :

$x^{3} = 5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$

Remarque que si tu connais déjà la valeur de 5², qui est 25, tu peux la multiplier par 5 une fois de plus pour obtenir la valeur de 5³.

$x^{4} = 5^{4} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$

Important à retenir :

Si une variable n'a pas de puissance ou d'exposant, alors on suppose qu'elle vaut 1. Par exemple, x¹ = x

De même, toute variable à la puissance 0 (zéro) est égale à 1. Par exemple, x⁰ = 1

Les puissances d'exposant négatif

En mathématiques, les puissances d'exposant négatif sont des expressions dont l'exposant est négatif.

La formule pour travailler avec des exposants négatifs est relativement simple : $x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$

Grâce à cette formule, il est possible de résoudre des équations complexes impliquant des exposants positifs et négatifs.

Par exemple, dans l'équation $x^{- 4} = \frac{1}{x^{4}}$ le -4 est une puissance d'exposant négatif. Les propriétés des puissances d'exposant négatif sont similaires à celles des exposants positifs, à quelques exceptions près.

Plus la valeur absolue de l'exposant est grande, plus le nombre résultant sera petit.

Avec un peu de pratique, comprendre les puissances d'exposant négatif peut être facile !

Formules des puissances

Il existe différentes formules pour les puissances en mathématiques. Voici les règles de puissances que tu dois garder à l'esprit :

$x^{a} \times x^{b} = x^{a + b} x^{a} \div x^{b} = x^{a - b} {(x^{a})}^{b} = x^{a \times b} x^{0} = 1 x^{- a} = \frac{1}{x^{a}} x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$

Toutes ces formules sont importantes à connaître en mathématiques. Les puissances sont un moyen de représenter une multiplication répétée, elles sont donc très importantes.

Que sont les racines ?

En mathématiques, une racine est définie comme une valeur qui, élevée à une certaine puissance, est égale à un nombre donné. Par exemple, la racine carrée de 9 est 3, car 3² = 9. En d'autres termes, la racine carrée de 9 est le nombre qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, est égal à 9.

Il existe d'autres types de racines aussi, comme la racine cubique et la racine quatrième. La racine cubique de 8 est 2, car 2³ = 8, et la racine quatrième de 16 est 2, car 2⁴ = 16.

Les racines peuvent être des nombres irrationnels, ce qui signifie qu'ils ne peuvent pas être exprimés sous forme de décimale finie. Par exemple, la racine carrée de 2 est 1,41421356237..., et la racine carrée de 3 est 1,73205080757...

La racine carrée

Pour trouver la racine carrée d'un nombre, il faut trouver quel nombre multiplié par lui-même nous donne le nombre contenu dans la racine carrée.

Si tu veux trouver la racine carrée de 25, tu dois trouver quel nombre multiplié par lui-même est égal à 25.

$\sqrt{25} = \pm 5$

Mais pourquoi le résultat est-il ± 5 ?

C'est parce que la racine carrée de 25 peut être soit 5, soit -5.

5 x 5 = 25

(-5) x (-5) = 25

Par conséquent, il y a toujours deux réponses lorsque nous prenons la racine carrée d'un nombre.

$\sqrt{- 25} \neq - 5$

La racine carrée d'un nombre négatif n'a pas de solution réelle, les nombres imaginaires sont nécessaires dans ce cas. Seuls les nombres positifs peuvent avoir leur racine carrée prise de cette manière.

Les racines carrées peuvent être classées comme suit, en fonction du type de nombre contenu dans la racine :

La racine carrée des carrés parfaits

La racine carrée des carrés parfaits donne un nombre entier comme résultat. Elle est très facile à calculer, et utile à retenir lorsque nous travaillons avec des expressions contenant des puissances et des racines. Elle aide à calculer et à simplifier ces types d'expressions. Voici les dix premiers :

$\sqrt{1}$	$\sqrt{4}$	$\sqrt{9}$	$\sqrt{16}$	$\sqrt{25}$	$\sqrt{36}$	$\sqrt{49}$	$\sqrt{64}$	$\sqrt{81}$	$\sqrt{100}$
± 1	± 2	± 3	± 4	± 5	± 6	± 7	± 8	± 9	± 10

La racine carrée des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits

La racine carrée des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits n'est pas un nombre entier. Ils produisent des nombres irrationnels avec des décimales infinies. Pour représenter plus exactement ce type de nombres, on les laisse sous forme de racine. Par exemple :

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7} . . .$

Si le nombre à l'intérieur de la racine a un nombre carré comme facteur, alors il peut être simplifié.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

La racine cubique

Si tu veux trouver la racine cubique d'un nombre, tu dois trouver quel nombre multiplié par lui-même 3 fois nous donnerait le nombre à l'intérieur de la racine cubique. C'est le contraire de l'élévation d'un nombre à la 3^ème puissance.

Si tu veux trouver la racine cubique de 8, tu dois trouver quel nombre multiplié par lui-même 3 fois est égal à 8.

$\sqrt[3]{8} = 2$

Remarque que dans ce cas, nous n'avons qu'une seule réponse, et non deux. En effet, lorsque tu multiplies un nombre négatif par lui-même 3 fois, le résultat est également négatif.

(-2) x (-2) x (-2) = -8

Par conséquent, la seule réponse possible est 2 x 2 x 2 = 8

$\sqrt[3]{- 8} = - 2$

Nous pouvons prendre la racine cubique d'un nombre négatif.

Autres racines

4ème racine : Les règles sont similaires à celles des racines carrées.
5e racine : Les règles sont similaires à celles des racines cubiques.
En général, les racines impaires ont une solution, et les racines paires ont deux solutions.

Comment écrire des puissances en tant que racines et des racines en tant que puissances ?

Pour écrire des puissances en tant que racines et des racines en tant que puissances, nous devons comprendre comment fonctionnent les exposants fractionnaires.

Exposants fractionnaires

Les exposants fractionnaires sont équivalents aux racines, comme le montre la règle exponentielle suivante :

$x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$

En utilisant cette expression, tu peux écrire n'importe quel exposant fractionnaire comme une racine.

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^{2}}$

Tu peux utiliser la même expression pour écrire n'importe quelle racine sous forme d'exposant fractionnaire.

$\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}} \sqrt[6]{x^{5}} = x^{\frac{5}{6}}$

Comment calculer les puissances et racines carrées

Maintenant que tu sais comment travailler avec des exposants fractionnaires et les règles de puissances, tu as tout ce dont tu as besoin pour calculer ou simplifier des expressions contenant des puissances et des racines.

Exemple 1

Calculer ou simplifier $\sqrt{50}$

En te souvenant des carrés parfaits, tu peux changer $\sqrt{50}$ à $\sqrt{25 \times 2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$

$5 \sqrt{2}$ ne peut pas être simplifié davantage, il est donc laissé sous sa forme de racine carrée.

Exemple 2

Calculer ou simplifier $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}$

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} . x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ en transformant les racines en exposants fractionnaires

$\frac{\sqrt{x} . \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ en utilisant la règle exponentielle $x^{a} \times x^{b} = x^{a + b}$

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$ en utilisant la règle exponentielle $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{5}{12}}$

Exemple 3

Calculer ou simplifier $\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}}$

$\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}} = 6 x^{- 1} y^{5}$ en utilisant la règle exponentielle $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$

$\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}} = \frac{6 y^{5}}{x}$ en utilisant la règle exponentielle $x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$

Exemple 4

Calculer ou simplifier ${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2}$

${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2} = {(\frac{2 x^{3}}{3 x y^{2}})}^{2}$ à l'aide de la règle exponentielle, inverser la fraction $x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$

$= \frac{{(2 x^{3})}^{2}}{{(3 x y^{2})}^{2}}$ répartir l'exposant dans le numérateur et le dénominateur

$= \frac{4 x^{6}}{9 x^{2} y^{4}}$ en utilisant la règle exponentielle $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$

${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2} = \frac{4 x^{4}}{9 y^{4}}$

Puissances et racines - Points clés

Les puissances sont les exposants auxquels une variable ou un nombre est élevé.
La racine carrée est l'inverse de la puissance carrée.
Les racines impaires auront une solution, tandis que les racines paires en auront deux.
Seuls les nombres positifs peuvent avoir leurs racines carrées, sans utiliser de nombres imaginaires.
Les nombres négatifs peuvent avoir leurs racines cubiques.
La connaissance des racines carrées des carrés parfaits et des règles exponentielles est très utile pour calculer ou simplifier des expressions algébriques contenant des puissances et des racines.

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Questions fréquemment posées en Puissance et racine carrée

Comment calculer une racine carrée avec une puissance ?

En général, pour calculer une racine carrée avec une puissance, il faut d'abord évaluer la puissance du nombre sous la racine, et ensuite déterminer sa racine carrée. Si la puissance est paire, nous pouvons aussi simplifier en utilisant des règles de puissances. Par exemple, la racine de 5¹⁰ est 5⁵.

Quelles sont les propriétés des racines carrées ?

D'abord, pour les nombres réels, nous ne pouvons déterminer la racine carrée d'un nombre positif. De plus, il y a toujours deux racines carrées : une qui est positive et une autre qui est négative.

Quel est la formule de la racine carrée ?

Pour trouver la racine carrée d'un nombre, il faut trouver quel nombre multiplié par lui-même nous donne le nombre contenu dans la racine carrée.

Comment réduire une expression avec des racines carrées ?

Il y a plusieurs façons de réduire une expression avec des racines carrées. Peu importe la situation, nous devons appliquer les règles de puissances.

Quelle est la racine carrée de 2 ?

La racine carrée de 2 est notée √2.

Quelle est la racine carrée de 3 ?

La racine carrée de 3 est notée √3.

Quelle est la racine carrée de 25 ?

La racine carrée de 25 est 5.

Qu'est-ce que la fonction racine carrée ?

La fonction racine carrée est une fonction mathématique qui associe à chaque nombre positif ou nul son unique racine carrée positive. En d'autres termes, si y est la racine carrée d'un nombre x, alors y est le nombre positif qui, lorsqu'il est élevé au carré, donne x. La fonction racine carrée est généralement représentée par le symbole √x.

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