Factorielle

Quelle est la factorielle de 0 ?

La factorielle de 0 est égale à 1 : \(0! = 1\). Cela peut paraître étrange, comme une factorielle est un produit et si 0 est inclus dans ce produit, donc le produit serait sûrement égal à 0. Or, il s'agit d'une convention. Pourquoi avons-nous donc choisi cette définition pour la factorielle de 0 ?

Le fait que la factorielle de 0 soit égale à 1 permet de garder la logique dans les formules. D'après la définition par récurrence de la factorielle, nous avons \(n! = n \times (n-1)!\). Cela implique que \((n-1)! = \frac{n!}{n}\). Si nous remplaçons \(n = 1\) dans cette formule, nous obtenons : \(0! = \frac{1!}{1} = 1\).

Comment calculer une factorielle ?

Pour calculer une factorielle, il existe deux formules simples que nous pouvons utiliser. La première est \(n! = n \times (n-1) \times ... \times 2 \times 1\). Voyons un exemple de comment calculer une factorielle.

Nous pouvons également utiliser la formule \(n! = n \times (n-1)! \). Cette formule nous permet de calculer la factorielle d'un nombre en utilisant la factorielle du nombre précédent.

Calcul factoriel

Voyons comment effectuer des calculs qui contiennent des factorielles. Pour faire la somme, la différence ou le produit de deux factorielles, il faut calculer chaque factorielle et ensuite effectuer la somme, la différence ou le produit.

Par contre, en divisant deux factorielles, nous pouvons faire quelques simplifications. Comme tu verras dans l'exemple qui suit, c'est bien moins compliqué avec cette astuce !

Qu'est-ce que la fonction factorielle ?

Bien qu'une fonction factorielle puisse désigner une fonction mathématique, ce terme fait souvent référence à une fonction informatique. En d'autres termes, une fonction factorielle peut être considérée comme le code qui permet à un ordinateur de calculer la factorielle d'un nombre.

La plupart des langages de programmation disposent d'une fonction factorielle prédéfinie. Parfois, il est nécessaire de l'importer d'une bibliothèque spécifique. Nous pouvons également écrire notre propre code grâce à la définition de la factorielle d'un nombre avec les instructions de base du langage.

Par la suite, nous te montrerons comment le faire avec le langage Python.

La fonction factorielle en Python

Pour utiliser la fonction factorielle en Python, le plus simple est de l'importer de la bibliothèque math. Nous pouvons également exploiter les boucles, qui permettent de répéter une liste d'instructions. Il existe deux types de boucles en Python : les boucles for (pour) et les boucles while (tant que).

Pour utiliser la fonction factorielle en l'important de la bibliothèque math, nous pouvons le faire dans la console.

Fig. 1 - Utiliser la fonction factorial de la bibliothèque math dans la console

Nous pouvons également importer la fonction factorielle depuis la bibliothèque math et l'utiliser dans un script.

Fig. 2 - Utiliser la fonction factorial dans un code Python

Pour définir une formule factorielle avec une boucle for, nous devons spécifier une plage de valeurs auxquelles les instructions seront appliquées avec la fonction range (plage). Dans notre cas, la fonction range répétera l'instruction donnée pour les valeurs \(i = 1, 2, ... n-1\). Observe que cette fonction exclut la borne supérieure.

Fig. 3 - Une fonction factorielle avec une boucle for en Python

En Python, le signe égal ne représente pas l'égalité. Ce signe affecte une valeur donnée à la variable. Ici, pour chaque valeur de \(i\), la variable « res » sera modifiée. La nouvelle valeur de « res » sera l'ancienne valeur fois \(i + 1\).

Comme cette opération s'effectuera résultera dans la multiplication de tous les entiers entre \(1\) et \(n\), nous obtiendrons la factorielle de \(n\).

Pour définir une formule factorielle avec une boucle while, nous devons spécifier une condition. Tant que cette condition est vérifiée, l'ordinateur répétera les instructions données. Dans notre cas, la condition est que \(i\) doit être inférieur à \(n\).

Fig. 4 - Une fonction factorielle avec une boucle while en Python

Chaque fois que la boucle est effectuée, la valeur de \(i\) augmente par \(1\) et la variable res est multipliée par \(i\). Une fois que toutes les instructions sont effectuées par l'ordinateur, il vérifie si \(i\) est toujours inférieur à \(n\). L'ordinateur sortira de cette boucle une fois que \(i\) est supérieur de \(n\) et dans ce cas, nous aurons obtenu la factorielle de \(n\).