Discriminant
Pour une équation du second degré sous la forme \(ax^2 + bx + c = 0\), le discriminant, représenté par \(\Delta\), est la valeur \(b^2 - 4ac\).
Le discriminant est utile pour savoir le nombre de solutions réelles d'une équation du second degré.
Si \(\Delta > 0\), alors il y a deux solutions (ou racines) distinctes.
Si \(\Delta = 0\), alors il y a une solution.
Si \(\Delta < 0\), alors il n'y a aucune solution réelle.
Dans le dernier cas, nous disons qu'il n'y a aucune solution réelle, car il y a deux solutions complexes, c'est-à-dire, les deux solutions sont des nombres complexes.
Le discriminant de l'équation \(x^2 + 2x + 3\) est égal à \((2)^2 - 4(3)(1) = -8\). Cette équation n'admet donc aucune solution réelle.
Calculer le discriminant nous permet également de déterminer la solution ou les solutions d'une équation du second degré. En fait, il y a plusieurs façons de résoudre une équation du second degré.
Résoudre une équation du second degré
Il y a trois façons de résoudre une équation du second degré de façon algébrique. Nous pouvons :
Selon l'équation et les besoins, il faut privilégier une approche spécifique.
La formule quadratique marche toujours : il suffit d'appliquer la formule. Par contre, d'autres méthodes peuvent être plus rapides.
Factoriser une équation du second degré est peut-être la plus rapide parmi ces trois méthodes. Or, cette méthode n'est facilement applicable que dans certains cas.
Mettre une équation du second degré sous sa forme canonique est souvent la plus chronophage des méthodes, mais elle nous donne plusieurs informations supplémentaires.
La formule quadratique
La formule quadratique nous donne les solutions (réelles ou complexes) d'une équation du second degré. Si \(ax^2 + bx + c = 0\), alors \[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Dans cette formule, observe le symbole \( \pm \), qui veut dire « plus ou moins ». Cela veut dire que pour une solution, nous faisons la somme et que pour l'autre, nous faisons la différence.
Appliquons la formule quadratique pour résoudre l'équation \(x^2 + 3x + 2 = 0\).
Selon la notation de la formule, \(a = 1\), \(b = 3\) et \(c = 2\). Remplaçons ces valeurs : \[x = \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2 - 4(2)(1)}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2} \]
Il y aura donc deux solutions. La première est \(x = \frac{-3 + 1}{2} = -1 \). La seconde est \(x = \frac{-3 - 1}{2} = -2 \).
Factoriser une équation du second degré
Supposons que \(a \times b = 0\). Si \(a = 0\), l'égalité est vérifiée. De même, si \(b = 0\), l'égalité est toujours vérifiée. C'est le principe derrière la résolution des équations du second degré par factorisation. Si nous pouvons facilement factoriser une équation du second degré — et c'est souvent le cas — il serait possible de déterminer ses solutions.
Résolvons l'équation \(x^2 + 3x + 2 = 0\) par factorisation.
\(x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x +1) = 0 \)
Ainsi, \(x +1 = 0\) ou \(x+2 = 0\). Les deux solutions sont donc \(x = -1\) et \(x = -2\)
Forme canonique
Une fois que nous retrouvons la forme canonique d'une équation du second degré, il faut suivre les étapes suivantes pour la résoudre.
Mets la constante de l'autre côté de l'équation.
Divise l'équation par le coefficient de l'expression au carré.
Trouve les racines carrées des deux côtés.
Résous les équations du premier ordre qui en résultent.
Résolvons l'équation \(x^2 + 3x + 2 = 0\) en utilisant sa forme canonique.
Mettons cette équation sous sa forme canonique :
\(x^2 + 3x + 2\)
\(= x^2 + 3x + 1{,}5^2 + 2 - 1{,}5^2 \)
\(= (x +1{,}5)^2 - 0,25 \)
Mettons la constante de l'autre côté : \( (x +1{,}5)^2 = 0{,}25 \)
Comme le coefficient de l'expression est \(1\), rien ne change pour l'étape 2.
Trouvons les racines carrées : \(x +1{,}5 = \pm 0{,}5 \).
Comme les carrés de \(0{,}5\) et \(-0{,}5\) sont tous les deux égaux à \(0{,}25\), il faut prendre en compte les deux.
On a donc obtenu deux équations du premier degré, que nous pouvons résoudre facilement.
Ainsi, nous avons \( x + 1{,}5 = 0{,}5 \) ou \( x + 1{,}5 = - 0{,}5 \). Enfin, \( x = -1 \) ou \( x = -2\).
Bien que cette approche soit un peu plus longue, mettre l'équation sous la forme canonique nous fournit d'autres informations intéressantes, par exemple l'abscisse du point stationnaire de la courbe représentative.
Un point stationnaire est un point où la dérivée d'une fonction s'annule. Pour la courbe représentative d'une équation du second degré, il s'agit du point où elle atteint son maximum ou son minimum.
Équations du seconde degré : exemples
Tout au long de cette explication, nous avons montré comment résoudre la même équation du second degré avec différentes méthodes. Voyons ensemble quelques exemples qui te permettront de choisir la bonne méthode selon l'équation.
Résous \(x^2 = 3x\).
D'abord, mettons tous les termes d'un côté : \(x^2 - 3x = 0\)
Cette équation est facile à factoriser.
Nous avons \(x(x - 3) = 0\)
Enfin, \(x = 0\) ou \(x = 3\)
Si nous avions d'abord divisé par \(x\) au départ, nous aurions perdu une des solutions.
Résous \(x^2 + x - 1 = 0\).
Comme elle est difficile à factoriser, nous devons appliquer la formule quadratique.
Selon la notation de la formule, \(a = 1\), \(b = 1\) et \(c = -1\). Remplaçons ces valeurs : \[x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}\]
Les solutions sont donc \(x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) ou \(x = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\).
Résous \(x^2 + 4x + 3= 0\).
Dans cet exemple, le membre de gauche est similaire à une identité remarquable. Mettons-le donc sous sa forme canonique.
\(x^2 + 4x + 4 = 1\)
\((x+2)^2 = 1\)
Donc, nous avons \(x+4 = -1\) ou \(x+4 = 1\). Enfin, \(x = -5\) ou \(x = -3\)
Équations du second degré - Points clés
- Il y a trois méthodes pour résoudre une équation du second degré de façon algébrique : avec la formule quadratique, par factorisation ou en utilisant la forme canonique.
- Pour une équation du second degré sous la forme \(ax^2 + bx + c = 0\), le discriminant, représenté par \(\Delta\), est la quantité \(b^2 - 4ac\). Le discriminant nous indique s'il y a une unique solution, deux solutions distinctes ou aucune solution réelle.
- La formule quadratique, \(x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \), nous donne les solutions d'une équation du second degré.
- Si nous parvenons à factoriser l'équation, nous pouvons la résoudre en mettant chacun des facteurs égal à \(0\), et en les résolvant.
- Bien que résoudre une équation du second degré en utilisant la forme canonique peut être un peu long, cette méthode nous fournit d'autres informations intéressantes
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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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