Algèbre

Algèbre : définition

L'algèbre combine des nombres et des variables en utilisant des opérations mathématiques comme l'addition, la soustraction, la multiplication et la division pour représenter un problème spécifique. Les solutions aux problèmes sont trouvées en utilisant des règles prédéfinies pour manipuler chaque expression mathématique.

L'algèbre peut être classée en différentes sous-branches selon le niveau de complexité de leurs expressions algébriques et le domaine où elles sont appliquées. Ces branches vont de l'algèbre élémentaire à des équations plus abstraites et complexes, qui nécessitent des mathématiques plus avancées. L'algèbre élémentaire consiste à résoudre des expressions algébriques pour trouver une solution, et elle est utilisée dans la plupart des domaines tels que les sciences, la médecine, l'économie et l'ingénierie.

Origine du mot algèbre

Abu Ja'far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi a inventé l'algèbre. C'était un écrivain, un scientifique, un astronome, un géographe et un mathématicien, né dans les années 780 à Bagdad. Le terme algèbre vient du mot arabe al-jabr, qui signifie « la réunion de parties brisées ».

Pourquoi l'algèbre est-elle importante dans le monde réel ?

La compréhension de l'algèbre ne t'aide pas seulement à représenter des expressions algébriques et à trouver leurs solutions. Elle te permet également d'améliorer tes compétences en matière de résolution de problèmes, en t'aidant à penser de manière critique et logique, et à résoudre des problèmes plus complexes impliquant des nombres et des valeurs inconnues.

La connaissance de l'algèbre peut être appliquée pour résoudre des problèmes quotidiens. Un chef d'entreprise peut utiliser des expressions algébriques pour calculer les coûts et les bénéfices. Pense encore au gérant de magasin qui veut calculer le nombre de barres de chocolat vendus à la fin de la journée, pour décider s'il doit continuer à les stocker ou non. Il sait qu'au début de la journée, il avait 30 barres en stock et qu'à la fin, il en restait 12. Il peut utiliser l'expression algébrique suivante :

Ce n'est qu'un simple exemple, mais les avantages de la compréhension de l'algèbre vont bien au-delà. Elle nous aide dans nos activités quotidiennes, comme faire les courses, gérer un budget, payer nos factures, planifier des vacances, etc.

Types d'équations algébriques

Le degré d'une équation algébrique est la plus grande puissance présente dans les variables de l'équation. Les équations algébriques peuvent être classées en fonction de leur degré comme suit :

Équations linéaires

Les équations linéaires sont utilisées pour représenter des problèmes où le degré des variables (c'est-à-dire x, y ou z) est égal à un. Par exemple, \(ax + b = 0\), où x est la variable, et a et b sont des constantes.

Équations quadratiques

Les équations quadratiques sont généralement représentées par \(ax^2 + bx + c = 0\), où x est la variable, et a, b et c sont des constantes. Elles contiennent des variables de puissance 2 ou moins. Les équations quadratiques produisent deux solutions possibles pour x qui satisfont l'équation.

Équations cubiques

Les équations cubiques sont représentées sous une forme générique par \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\), où x est la variable, et a, b, c et d sont des constantes. Elles contiennent des variables de puissance 3 ou moins.

Propriétés de base de l'algèbre

Les propriétés de base de l'algèbre que tu dois garder à l'esprit lorsque tu résous des équations algébriques sont les suivantes :

• Loi commutative de l'addition : Changer l'ordre des nombres à additionner ne change pas la somme.a + b = b + a

• Loi commutative de la multiplication : Changer l'ordre des nombres à multiplier ne change pas le produit.a × b = b × a

• Associativité de l'addition : Le fait de changer le groupement des nombres à additionner ne change pas la somme.a + (b + c) = (a + b) + c

• Associativité de la multiplication : Le fait de changer le groupement des nombres multipliés ne change pas le produit.a × (b × c) = (a × b) × c

• Distributivité : Si tu multiplies la somme de deux ou plusieurs nombres par un autre nombre, tu obtiens le même résultat qu'en multipliant chaque terme de la somme individuellement par le nombre, puis en additionnant les produits.a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

• Réciproque : Tu peux trouver la réciproque d'un nombre en échangeant le numérateur et le dénominateur.Réciproque de a = 1 / a

• Identité additive : Si tu ajoutes 0 (zéro) à un nombre quelconque, tu obtiens le même nombre comme solution.a + 0 = 0 + a = a

• Identité multiplicative : Si tu multiplies un nombre quelconque par 1, tu obtiens le même nombre comme solution.a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a

• Opposé : L'addition d'un nombre et de son inverse (même nombre avec un signe opposé) donne 0 (zéro) comme solution.a + (-a) = 0

• Inverse : Si tu multiplies un nombre par sa réciproque, tu obtiens 1 comme solution.a ⋅ 1 / a = 1

Résoudre des équations algébriques linéaires

Pour résoudre des équations algébriques linéaires, tu dois suivre les étapes suivantes :

• Étape 1 : chaque côté de l'équation doit être simplifié en supprimant les parenthèses et en combinant les termes ;

• Étape 2 : ajouter ou soustraire pour isoler la variable d'un côté de l'équation ;

• Étape 3 : multiplier ou diviser pour obtenir la valeur de la variable inconnue

Quels sont les différents types de problèmes en algèbre ?

Les différents types de problèmes que tu peux rencontrer en algèbre varient en fonction du type d'expressions algébriques impliquées et de leur complexité. Ils peuvent impliquer les :

• puissances et racines ;

• équations ;

• inégalités ;

• polynômes ;

• graphiques ;

• transformations des graphiques ;

• fractions partielles.

L'algèbre linéaire

L'algèbre linéaire est une branche importante des mathématiques où nous étudions les structures algébriques et les transformations linéaires. Elle joue un rôle central dans de nombreux domaines, notamment en géométrie, en physique et en informatique. L'algèbre linéaire c'est l'étude des vecteurs et des transformations qui leur sont appliquées. Cela peut sembler un peu abstrait, mais il existe de nombreux exemples concrets d'applications de l'algèbre linéaire dans la vie quotidienne.

En outre, l'algèbre linéaire est une discipline mathématique extrêmement importante et utile qui mérite d'être étudiée en profondeur.

L'algèbre bilinéaire

L'algèbre bilinéaire est une branche des maths qui étudie les structures algébriques linéaires. Elle est utilisée dans différents domaines, comme la géométrie, l'analyse et la topologie. L'algèbre bilinéaire est importante dans la vie de tous les jours, car elles nous permet de comprendre et résoudre des problèmes. Les équations bilinéaires sont un type d'équation linéaire faisant intervenir deux variables. Bien qu'elles ne soient pas aussi connues que leurs homologues à une variable, les équations bilinéaires ont tout autant d'applications dans le monde réel.