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Comprendre la force hydrostatique sur une surface plane
La force hydrostatique sur une surface plane désigne la force exercée par un fluide au repos. Cette force résulte de la pression du fluide multipliée par la surface sur laquelle la pression est répartie. Avant d'approfondir le concept, il nous incombe d'avoir une solide compréhension de quelques termes de base.
Pression : C'est la force appliquée perpendiculairement à la surface d'un objet par unité de surface où la force est répartie.
Fluide : Un fluide est toute substance qui peut s'écouler, par exemple les liquides et les gaz.
Concept de force hydrostatique sur une surface plane
La pression dans un liquide augmente proportionnellement à sa profondeur. Par conséquent, la pression exercée par une colonne de liquide de section transversale uniforme est donnée par \( P = \rho - g - h \), où \( P \) est la pression, \( \rho \) est la densité du liquide, \( g \) est l'accélération due à la gravité, et \( h \) est la hauteur de la colonne de liquide au-dessus du point en question.
Par conséquent, la force hydrostatique agissant sur une surface plane, immergée dans un liquide statique peut être calculée en intégrant la pression sur toute la surface immergée.
Par exemple, si un barrage rectangulaire d'une largeur \N( b \N) et d'une hauteur \N( h \N) est immergé à une profondeur \N( d \N) sous la surface d'un lac, la force hydrostatique \N( F \N) sur le barrage peut être calculée à l'aide de la formule : \( F = \frac{1}{2} - \rho - g - b - h^2 - (d + \frac{h}{3}) \).
Il est bon de rappeler que pour les surfaces planes perpendiculaires à la surface du liquide, la force hydrostatique ne dépend que de la profondeur du centroïde de l'aire sous la surface du liquide, de l'aire de la surface et de la densité du liquide.
Facteurs influençant la force hydrostatique sur une surface plane
Plusieurs facteurs influencent l'ampleur et la répartition de la force hydrostatique sur une surface plane. Ce sont principalement ,
- La profondeur du centroïde de la zone submergée sous la surface du liquide, qui influence directement la pression hydrostatique agissant sur la surface.
- L'aire et la forme de la surface immergée, qui déterminent la distribution totale de la pression. Note toutefois que la forme de la surface n'affecte pas la force hydrostatique résultante.
- La densité du liquide, car un fluide de densité plus élevée exerce une pression plus importante.
Note que la gravité influence indirectement la force hydrostatique en affectant la pression en termes de \( P = \rho - g - h \).
Par exemple, la force hydrostatique sur une porte circulaire d'un barrage (de rayon \( r \N) et de densité \( \rho \N)) à une profondeur \( d \N) sous la surface du lac peut être calculée par \( F = \pi - \rho - g - r^2 - (d + \frac{2r}{3}) \N).
Force hydrostatique sur différentes surfaces planes
Différents types de surfaces immergées dans un fluide statique rencontrent des distributions et des amplitudes variables de la force hydrostatique. Ces variations sont principalement dues à leur géométrie, à leur orientation et à la profondeur du liquide au-dessus du centroïde de la surface immergée. Pour bien comprendre la force hydrostatique exercée sur les surfaces planes, examinons maintenant ces surfaces dans trois scénarios différents : les surfaces planes verticales, inclinées et submergées.
Force hydrostatique sur une surface plane verticale
Lorsqu'une surface plane est verticale, les variations de pression à travers la surface entraînent une distribution non uniforme de la force hydrostatique. La pression en tout point de la surface est proportionnelle à la profondeur de ce point sous la surface du liquide, un principe articulé comme \( P = \rho - g - h \) où \( P \) est la pression, \( \rho \) est la densité du fluide, \( g \) est la gravité, et \( h \) est la profondeur sous la surface.
La force hydrostatique totale \( F \) agissant sur la surface peut être trouvée en intégrant la pression sur l'aire de la surface. Pour une surface rectangulaire immergée verticalement dans un liquide d'une hauteur \Nh et d'une largeur \Nb, la force hydrostatique totale \NF est donnée par \NF = \Nfrac{1}{2}\rho - g - b - h^2 \N).
Pour une surface rectangulaire de 5m de hauteur et de 3m de largeur, immergée verticalement dans de l'eau d'une densité de 1000 kg/m³, la force hydrostatique est donnée par \( F = \frac{1}{2} - 1000 - 9,81 - 3 - (5)^2 = 367,5 kN \N).
Force hydrostatique sur les surfaces planes immergées
Une surface plane submergée désigne toute surface qui est complètement immergée dans un fluide et qui n'est pas en contact avec la surface libre du liquide. Tout comme les surfaces verticales, il y aura une distribution non uniforme de la pression qui se manifeste par des variations de profondeur.
Si l'on considère une surface immergée dans un liquide d'une superficie de \N( A \N) à une profondeur de \N( h \N), le centre de pression sur une surface immergée est le point où la somme totale de la force hydrostatique est supposée agir. La profondeur \( y_c \) du centre de pression par rapport à la surface du fluide est donnée par \( y_c = \frac{I_G}{A-h} + h \) où \( I_G \) est le second moment de l'aire.
La force hydrostatique totale sur une surface plane immergée, qu'elle soit horizontale, verticale ou inclinée, est la même et peut être calculée comme suit : \( F = P_{cp} - A \), où \( P_{cp} \) est la pression au centroïde."
Pour une plaque triangulaire équilatérale de 3 m de côté, immergée dans l'eau avec le sommet à la surface et la base parallèle à la surface de l'eau à 3 m de profondeur, la force hydrostatique peut être calculée en trouvant d'abord la pression au centroïde (\( P_{cp} = \rho - g - h \)) et en la multipliant ensuite par l'aire du triangle.
Force hydrostatique sur une surface plane inclinée
Une surface plane inclinée est une surface inclinée à un angle autre que 90 degrés par rapport à la surface du liquide statique. Pour calculer la force hydrostatique sur une surface inclinée, il faut tenir compte à la fois de l'aire de la surface et de la profondeur du centroïde sous la surface.
Pour une surface rectangulaire de largeur \N( b \N) et de hauteur \N( h \N), inclinée à un angle \N( \Ntheta \N), la force hydrostatique totale \N( F \N) est donnée par \N( F= \Nfrac{1}{2}\Nrho - g - b - h^2 - \Ncos{\Ntheta} \N).
Une porte rectangulaire de 1 m de large et de 2 m de haut, installée à un angle de 45 degrés dans un réservoir rempli d'huile de densité relative 0,9, subira une force hydrostatique donnée par \( F = \frac{1}{2} - 1000 - 9,9}). - 0,9 - 1000 - 9,81 - 1 - (2)^2 - \cos{(45)} = 13,85 kN \N)
Approche mathématique de la force hydrostatique sur une surface plane
Pour déterminer avec précision la force hydrostatique exercée sur une surface plane immergée dans un liquide, il faut se plonger dans le domaine mathématique. L'approche mathématique fournit des outils essentiels pour calculer à la fois l'ampleur et la ligne d'action des forces hydrostatiques résultantes. L'approche repose principalement sur les concepts de base du calcul et de la mécanique, car l'étendue de la force hydrostatique doit être calculée comme une intégrale sur la surface immergée.
Formule de la force hydrostatique sur une surface plane
La formule mathématique permettant de calculer la force hydrostatique sur une surface plane repose sur les principes de la mécanique des fluides. La formule fait appel à certains paramètres fondamentaux, notamment la densité du fluide, l'accélération due à la gravité, ainsi que la profondeur et l'aire de la surface immergée.
La pression en tout point d'un fluide au repos est donnée par P = \rho - g - h \rho), où \rho est la densité du fluide, g l'accélération due à la gravité et h la hauteur de la colonne de fluide au-dessus du point.
La force hydrostatique \N( F \N) sur une surface plane est l'intégrale de la pression sur la surface \N( A \N) de la surface, généralement calculée comme \N( F = \Nint_A P \N,dA \N). Cependant, cette intégration peut être simplifiée comme \NF = P_{cp} - A \N), où \NP_{cp} \Nest la pression au centroïde de la surface plane.
La formule pour calculer la pression au centroïde est \N( P_{cp} = \rho - g - h_c \N), où \N( h_c \N) est la profondeur verticale du centroïde de la surface immergée par rapport à la surface libre du liquide.
La force hydrostatique totale \N( F \N) sur la surface plane se simplifie alors à \N( F = \rho - g - h_c - A \N), ce qui met \N( P_{cp} \Nen place.
Exemples de force hydrostatique sur une surface plane
Les exemples permettent toujours d'éclairer les principes théoriques. Examinons-en quelques-uns pour comprendre comment appliquer les formules décrites ci-dessus.
Exemple 1 : Considérons un portail rectangulaire de 6 mètres de large et de 4 mètres de haut, fixé le long du bord supérieur et dont le plan est vertical. La barrière retient l'eau d'un côté. Détermine la force hydrostatique résultante sur le portail et sa ligne d'action.
Ici, la pression totale sur le centroïde \( P_{cp} \) est \( P_{cp} = \rho - g - h_c = 1000 - 9.81 - 2 = 19620 Pa \).
La surface de la porte \N( A \N) est \N( A = b - h = 6 - 4 = 24 m^2 \N).
La force hydrostatique résultante \N( F \N) est \N( F = P_{cp} - A = 19620 - 24 = 470880 N = 471 kN \N).
Exemple 2 : Calcule la force hydrostatique sur un portail circulaire de 3m de diamètre, immergé dans de l'huile de densité relative 0,8, avec son centre à 2,5m sous la surface de l'huile.
Le rayon de la porte (\( r \N)) est la moitié du diamètre, c'est-à-dire \( r = 1,5m \N).
Comme la porte est circulaire, la surface \N( A \N) peut être calculée comme \N( A = \Npi - (r)^2 = \Npi - (1,5)^2 = 7,07 m^2 \N).
La pression au centroïde \N( P_{cp}) est \N( P_{cp} = \rho - g - h_c = 800 - 9,81 - 2,5 = 19620 Pa \N).
Ainsi, la force hydrostatique résultante \N( F \N) est \N( F = P_{cp} - A = 19620 - 7,07 = 138674 N = 138,7 kN \N).
N'oublie pas que tu dois bien comprendre les principes et les formules pour pouvoir calculer la force hydrostatique dans diverses circonstances.
Force hydrostatique sur une surface plane - Principaux enseignements
- La force hydrostatique sur une surface plane désigne la force exercée par un fluide au repos, résultant de la multiplication de la pression du fluide et de la surface sur laquelle la pression est répartie.
- Les facteurs qui influencent la force hydrostatique sont notamment la profondeur du centroïde de la zone immergée, la surface et la forme de la surface immergée, ainsi que la densité du fluide.
- La force hydrostatique sur différentes surfaces planes telles que les surfaces verticales, submergées et inclinées diffère en raison de leur géométrie, de leur orientation et de la profondeur du liquide au-dessus du centroïde de la zone submergée.
- La formule pour calculer la force hydrostatique sur une surface plane est \N( F = P_{cp} - A \N), où \N( P_{cp} \N) est la pression au centroïde de la surface plane et \N( A \N) est l'aire de la surface. La pression \( P_{cp} \) au centroïde est calculée par \( P_{cp} = \rho - g - h_c \), où \( \rho \) est la densité du fluide, \( g \) est l'accélération due à la gravité et \( h_c \) est la profondeur verticale du centroïde de la surface immergée par rapport à la surface du fluide.
- Différents exemples expliquent comment les formules sont appliquées pour calculer la force hydrostatique sur différentes surfaces planes dans diverses circonstances.
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