Dérivée partielle

Qu'est-ce qu'une dérivée partielle ?

Pour calculer une dérivée partielle, tu la traites essentiellement de la même façon qu'une dérivée normale, avec une légère différence :

• Toute variable autre que celle par rapport à laquelle tu fais la différence doit être traitée comme une constante.
• La dérivée partielle d'une fonction s'écrit généralement \(\frac{\partial f}{\partial x}\) ou \(\frac{\partial f}{\partial y}\), où f est la fonction et x et y sont les variables.

Relation entre la dérivée partielle et les mathématiques de l'ingénieur

Les ingénieurs ont souvent affaire à des fonctions multi-variables, où plus d'une entrée affecte la sortie. Dans ces cas, les dérivées partielles deviennent absolument impératives. Elles te permettent de comprendre comment la fonction se comporte par rapport à une seule variable, même lorsqu'il y a plusieurs variables en jeu. Par exemple, en ingénierie structurelle, la contrainte ou le déplacement d'une construction peut être exprimé comme une fonction à la fois de la charge et de la température. Avec une dérivée partielle, tu peux déterminer de combien la contrainte change pour chaque unité de variation de la charge, en laissant la température constante et vice versa. Une dérivée partielle peut également être utilisée pour trouver une solution optimale à un problème d'ingénierie. Dans ce cas, tu veux minimiser ou maximiser une fonction, et c'est là qu'entrent en jeu des méthodes comme la descente de gradient, qui sont basées sur les dérivées partielles. Le tableau ci-dessous donne un bref aperçu de la façon dont ces méthodes sont employées dans différents domaines de l'ingénierie. N'oublie pas qu'il ne s'agit là que de la partie émergée de l'iceberg en ce qui concerne l'application des dérivées partielles dans le domaine de l'ingénierie. Le concept est utilisé dans de nombreux autres contextes et situations dans divers domaines de l'ingénierie.

Apprendre par les exemples : Exemples de dérivées partielles

Comprendre les dérivées partielles devient plus simple lorsque nous nous plongeons dans des exemples. Observer la façon dont elles sont employées dans des scénarios hypothétiques et des problèmes d'ingénierie réels peut t'aider à solidifier tes connaissances et ton application du concept.

Comprendre des exemples simples de dérivées partielles

Commençons par prendre quelques fonctions mathématiques simples et par calculer leurs dérivées partielles. Garde à l'esprit que lorsque tu différencies par rapport à une variable, toutes les autres variables sont considérées comme des constantes. Considérons la fonction \(f(x, y) = x^2 y + y^3\). Pour trouver la dérivée partielle par rapport à \N(x\N), considère \N(y\N) comme une constante. Ainsi, \frac{\partial f}{\partial x}= 2x*y\). Dans le cas d'une différenciation par rapport à \(y\) (tout en considérant \(x\) comme constante), nous utilisons la règle de la puissance de la différenciation, d'où \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3y^2\). Maintenant, pour une fonction un peu plus élaborée, \(f(x, y, z) = x^3 y^2 z + 3x yz^2 + z^3\), la dérivée partielle par rapport à \(x\) est \(\frac{\Npartial f}{\Npartial x} = 3x^2 y^2 z + 3yz^2\). De même, nous calculons la dérivée partielle par rapport à \N(y\N) et \N(z\N) en considérant les autres variables comme des constantes. Par conséquent, \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y z + 3x z^2\) et \frac{\partial f}{\partial z} = x^3 y^2 + 6x yz + 3z^2\). Travailler sur de tels exemples est une partie essentielle de la maîtrise du concept des dérivées partielles.

Exemples de dérivées partielles dans des problèmes d'ingénierie réels

En ce qui concerne les problèmes d'ingénierie du monde réel, les dérivées partielles jouent un rôle essentiel dans la résolution de problèmes complexes à plusieurs variables. Par exemple, tu travailles en tant qu'ingénieur en mécanique et tu dois modéliser l'efficacité, \(\eta\), d'un moteur thermique. Ce rendement dépend de variables telles que la température du moteur (\N- T\N), la pression (\N- P\N) et la valeur calorique du carburant (\N- C\N). Le modèle existant te fournit la fonction suivante : \N[ \N- \N- T, P, C) = 0,5T^2P + 0.3TPC + 0.2PC^2 \] Pour trouver le taux de changement de l'efficacité par rapport à la température (tout en gardant la pression et la valeur calorique constantes), tu dois prendre la dérivée partielle de \(\eta\) par rapport à \(T\). Ici, \(P\) et \(C\) sont considérés comme des constantes. Ainsi, \frac{\partial \eta}{\partial T} = TP + 0.3PC\) De même, en prenant la dérivée partielle par rapport à \(P\) et \(C\), tout en traitant les autres comme des constantes, tu peux trouver le taux de traction de l'efficacité dû à ces paramètres. Un autre exemple peut être observé au cours du processus de conception en génie civil, lorsque la stabilité d'un gratte-ciel dépend de la vitesse du vent (W), de la qualité des matériaux de construction (G) et de la hauteur (H) du gratte-ciel. Supposons que tu aies déjà dérivé une fonction décrivant cette relation : \N[ S(W, G, H) = 0,4W^2G + 0,6WG^2H \N] Dans ce scénario, les dérivées partielles seraient utilisées pour comprendre la vitesse à laquelle la stabilité du gratte-ciel change lorsque la vitesse du vent, la qualité du matériau ou la hauteur du bâtiment varient. Au cours du processus de conception, il peut être essentiel de déterminer dans quelle mesure les variations des facteurs individuels affectent la stabilité de la structure pour créer une construction sûre et fiable. Par conséquent, comme nous le voyons dans ces exemples, l'utilisation des dérivées partielles est vitale pour traiter de nombreux problèmes d'ingénierie complexes et pratiques. Ce concept constitue véritablement la pierre angulaire des mathématiques de l'ingénieur.

Approfondis tes connaissances : Règle de la chaîne des dérivées partielles

En approfondissant tes connaissances sur les dérivées partielles, tu rencontreras une règle clé fréquemment utilisée en calcul : la règle de la chaîne. Cette règle, lorsqu'elle est appliquée aux dérivées partielles, permet de résoudre des problèmes complexes à variables multiples.

Introduction à la règle de la chaîne des dérivées partielles

La règle de la chaîne a une réputation de longue date en calcul, en ce qui concerne les fonctions composées. Qu'est-ce que cette règle exactement ? Cependant, lorsqu'il s'agit de fonctions à variables multiples, la règle de la chaîne prend une forme légèrement différente, connue sous le nom de règle de la chaîne de la dérivée partielle. Mathématiquement, si \N(z\N) est une fonction de \N(n\N) variables indépendantes \N(x_1, x_2, x_3, ..., x_n\N), où chaque \N(x_i\N) est une fonction de \N(m\N) variables indépendantes \N(y_1, y_2, y_3, ..., y_m\N), il est possible de calculer la dérivée d'une fonction composite en utilisant la règle de la chaîne dérivée..., y_m\), la règle de la chaîne des dérivées partielles stipule que : \[ \frac{\partial z}{\partial y_j} = \frac{\partial z}{\partial x_1}\frac{\partial x_1}{\partial y_j}]. + \frac{\partial z}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial y_j} + \cdots + \frac{\partial z}{\partial x_n}\frac{\partial x_n}{\partial y_j} \] Pour \(j = 1, 2, 3, ..., m\). Considère la règle de la chaîne comme un outil permettant de disséquer une fonction complexe à plusieurs variables en éléments plus simples, d'examiner le comportement de chaque partie, puis de combiner les résultats pour obtenir une compréhension globale du comportement de la fonction d'origine.

Application de la règle de la chaîne à la dérivée partielle

Une fois que tu as compris la théorie, l'utilisation de la règle de la chaîne de la dérivée partielle avec des fonctions réelles devient plus intuitive. Elle fournit une méthode structurée pour traiter les fonctions composées et simplifie les variables et les dérivées complexes. Considérons un problème d'ingénierie classique : le transfert de chaleur. Supposons que la quantité de chaleur transférée, \(Q\), dépende de la différence de température (\(T\)) entre deux corps et du temps de contact (\(t\)). La différence de température elle-même pourrait à nouveau être une fonction des températures initiales des deux corps, \(T_A\) et \(T_B\). Dans ce cas, tu peux représenter le problème comme suit : \[ Q(T, t) = Tt^2 \] et \[ T(T_A, T_B) = T_A - T_B \] La question peut se poser de savoir comment \(Q\) change avec \(T_A\) ou \(T_B\). C'est ici que tu utilises la règle de la chaîne des dérivées partielles. En utilisant la règle de la chaîne, \[ \frac{\partial Q}{\partial T_A} = \frac{\partial Q}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial T_A} \] et \[ \frac{\partial Q}{\partial T_B} = \frac{\partial Q}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial T_B} \] En effectuant ces calculs, tu évalueras la façon dont le transfert de chaleur change avec \frac{\partial T_A ou \frac{\partial T}{\partial T_B} \], tu évalueras comment le transfert de chaleur change en fonction de \(T_A\) et \(T_B\). Ainsi, une petite augmentation de la température initiale du corps A augmentera le transfert de chaleur à un taux proportionnel à \(t^2\), tandis qu'une augmentation de \(T_B\) diminuera le transfert de chaleur au même taux. Partout où il existe une relation entre des quantités qui en influencent indirectement une autre, comme dans l'exemple de la température ci-dessus, tu découvriras que la règle de la dérivée partielle en chaîne peut simplifier et décrire clairement le problème, te rapprochant ainsi d'une solution. Elle te donne un aperçu plus significatif de la façon dont la fonction se comporte lorsque d'autres variables sont incluses. En bref, que ce soit en mécanique des fluides, en transfert de chaleur, en circuits électriques ou dans tout autre domaine de l'ingénierie, la règle de la chaîne des dérivées partielles simplifie considérablement la résolution des problèmes à plusieurs variables.

Pour aller plus loin : Exemples de dérivées partielles

Pour approfondir ta compréhension des dérivées partielles, il est très utile d'examiner des exemples plus complexes. Ce faisant, tu acquerras les compétences nécessaires pour t'attaquer à des problèmes mathématiques et d'ingénierie plus complexes qui impliquent le calcul de plusieurs variables.

Les bases des exemples de dérivées partielles

Pour illustrer le concept de dérivée partielle, évaluons-la pour la fonction \(f(x, y) = x^2 y + y^3\). Par essence, la dérivée partielle d'une fonction de deux variables par rapport à l'une de ses variables est la dérivée de la fonction traitée comme une fonction de cette seule variable. Lorsque nous différencions \(f(x, y)\) par rapport à \(x\), nous traitons \(y\) comme une constante. Par conséquent, la dérivée partielle de \(f(x, y)\Npar rapport à \N(x\N), notée \N(\Nfrac{\Npartial f}{\Npartial x}\N), nous donne \N(2x*y\N). D'autre part, lorsque nous différencions \N(f(x, y)\Npar rapport à \N(y\N), nous considérons \N(x\N) comme une constante. Par conséquent, la résultante \(\frac{\partial f}{\partial y}\) est \(x^2 + 3y^2\). Examinons maintenant une fonction multivariable plus complexe, \(f(x, y, z) = x^3 y^2 z + 3x yz^2 + z^3\), et le fonctionnement de ses dérivées partielles. En différenciant par rapport à \N(x), tout en traitant \N(y) et \N(z) comme des constantes, nous obtenons \N(\Nfrac{\Npartial f}{\Npartial x} = 3x^2 y^2 z + 3yz^2\N). De même, en considérant les autres variables comme des constantes, les dérivées partielles par rapport à \N(y\N) et \N(z\N) sont respectivement \N(\frac{\Npartial f}{\Npartial y} = 2x^3 y z + 3x z^2\N) et \N(\frac{\Npartial f}{\Npartial z} = x^3 y^2 + 6x yz + 3z^2\N). Comme le montrent ces exemples, la clé pour trouver des dérivées partielles se résume à ta capacité à différencier des fonctions de base tout en traitant les autres variables comme des constantes.

Exemples de dérivées partielles Application en mathématiques de l'ingénieur

Les dérivées partielles trouvent de nombreuses applications dans le domaine de l'ingénierie. Elles permettent d'établir comment une variable dépendante change par rapport à des variables indépendantes spécifiques tout en maintenant les autres constantes. L'une des applications les plus courantes est la thermodynamique. Supposons que tu sois ingénieur et que tu aies un moteur thermique. L'efficacité de ce moteur, \(\N- \N), peut dépendre de plusieurs variables, telles que la température du moteur (\N- \N), la pression (\N- \N) et la capacité thermique spécifique (\N- \N) du carburant utilisé. Imagine que tu aies une fonction d'efficacité telle que : \N[ \N- \N- \N- \N(T, P, C) = 0.5T^2P + 0.3PC + 0.2PC^2 \] Pour comprendre comment les changements de \(T\N), \N(P\N) et \N(C\N) influencent l'efficacité du moteur, tu peux calculer les dérivées partielles respectives de \N(\Neta\N) par rapport à ces variables, tout en traitant les autres comme des constantes. De même, en ingénierie structurelle, la stabilité \(S\) d'un gratte-ciel peut dépendre de facteurs tels que la vitesse du vent \(W\), la qualité des matériaux de construction \(G\) et la hauteur \(H\) du gratte-ciel. Si tu disposes d'une fonction qui décrit cette relation comme \(S(W, G, H) = 0,4W^2G + 0,6WG^2H\), tu peux utiliser les dérivées partielles pour déterminer l'impact de la variation de la vitesse du vent, de la qualité du matériau et de la hauteur du bâtiment sur la stabilité de la structure. En traitant les autres variables comme des constantes, tu peux isoler l'effet d'une variable sur la stabilité globale. Par conséquent, les dérivées partielles constituent un outil fondamental pour extraire la clarté de la complexité. C'est une compétence inestimable en mathématiques de l'ingénieur, car elle te permet de discerner l'impact de variables indépendantes spécifiques sur une variable dépendante, une compréhension essentielle à la conception et à l'analyse de solutions d'ingénierie efficaces.

Apprentissage avancé : Dérivée partielle du second ordre

En progressant dans le domaine des dérivées partielles, tu rencontreras la dérivée partielle du second ordre, un aspect qui fournit des informations approfondies sur la nature des fonctions multivariables.

Tout savoir sur la dérivée partielle du second ordre

Dans l'étude du calcul à plusieurs variables, les dérivées partielles du second ordre jouent un rôle essentiel. Elles mesurent essentiellement la façon dont les dérivées partielles du premier ordre changent par rapport à d'autres variables, fournissant des informations plus approfondies sur la forme, la concavité, la convexité et les extrema de la fonction en question. La dérivée du premier ordre d'une fonction multivariable \(f\) par rapport à \(x\), notée \(\frac{\partial f}{\partial x}\), fournit le taux de changement de la fonction en changeant \(x\) tout en gardant toutes les autres variables constantes. Cette notion s'étend à la dérivée de second ordre, notée \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\), qui mesure la vitesse à laquelle la dérivée de premier ordre change en fonction des variations de \(x\). Il existe deux types de dérivées partielles du second ordre :

• Les dérivées pures du second ordre : Elles consistent à prendre la dérivée deux fois par rapport à la même variable. Par exemple, \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\).
• Dérivées mixtes de second ordre : Il s'agit de prendre la dérivée d'abord par rapport à une variable, puis par rapport à une autre. Par exemple, \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) ou \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\).

L'ordre de différenciation est important dans le cas des dérivées partielles mixtes. Cependant, dans la plupart des conditions standard rencontrées en ingénierie, grâce à un théorème connu sous le nom de théorème de Clairaut, les dérivées mixtes du second ordre \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) sont égales. Considérons un exemple simple de fonction \(f(x, y) = x^2y - y^3.\) Ses dérivées mixtes du second ordre sont calculées comme suit : - Prends d'abord la dérivée de \(f(x, y)\) par rapport à \(x\) pour obtenir \(\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy\). - Ensuite, on prend la dérivée de \(\frac{\partial f}{\partial x}\) par rapport à \(y\) pour obtenir \(\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2x\). Le processus peut être répété avec des variables inversées et prouvera l'égalité des dérivées secondes mixtes selon le théorème de Clairaut.

La première dérivée de f(x, y) par rapport à y est ∂f/∂y = x² - 3y². 
Ensuite, la dérivée de ∂f/∂y par rapport à x est ∂²f/∂x∂y = 2x.

Engineerings Finest : la dérivée partielle du second ordre en action.

Intégrales pour comprendre les subtilités des problèmes d'ingénierie, les dérivées partielles du second ordre sont des outils essentiels dans la boîte à outils mathématique de l'ingénieur. Ce concept est souvent appliqué dans l'analyse et la modélisation des phénomènes physiques. Dans de nombreuses branches de l'ingénierie, il est courant d'utiliser des dérivées du second ordre, notamment pour résoudre des équations différentielles. En thermodynamique, les dérivées partielles du second ordre sont généralement utilisées pour dériver certaines relations de propriétés matérielles. En outre, en dynamique des fluides et en électrotechnique, les dérivées du second ordre aident à résoudre les équations d'écoulement et de circuit respectivement. Considérons un fluide qui s'écoule dans un tuyau avec une pression \(P\) et une vitesse \(v\). Supposons que la pression en tout point dépende du rayon \(r\N) et du temps \N(t\N), donné par la relation \N(P(r, t) = re^{-rt}\N). La dérivée partielle du second ordre \(\frac{\partial^2 P}{\partial r^2}\) peut nous renseigner sur la concavité de la distribution de la pression par rapport au rayon du tuyau, une information vitale lors de la conception de systèmes de fluides efficaces. En fin de compte, l'application des dérivées partielles du second ordre en ingénierie s'étend de la conception aux phases analytiques, et même à l'optimisation des systèmes et des processus. C'est grâce à ces relations du second ordre que tu peux mieux comprendre les dépendances et les variations entre les variables, ce qui est crucial pour prédire et contrôler les réponses des systèmes. N'oublie pas que plus tu avances dans le monde fascinant du calcul à plusieurs variables et de ses applications en ingénierie, plus il devient évident que ces concepts, y compris les dérivées partielles du second ordre, sont des pièces fondamentales pour comprendre le puzzle à plusieurs niveaux des problèmes d'ingénierie.