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Définition fonction de transfert
La fonction de transfert est un concept fondamental en ingénierie et en contrôle des systèmes. Elle décrit la relation entre l'entrée et la sortie d'un système linéaire et invariant dans le temps.
Concept de base
Une fonction de transfert est utilisée pour modéliser le comportement dynamique d'un système. Elle est souvent représentée dans le domaine de Laplace, ce qui permet de passer de l'analyse temporelle à l'analyse fréquentielle. La représentation classique d'une fonction de transfert est une fraction rationnelle, avec un numérateur et un dénominateur polynomiaux.
La fonction de transfert est définie mathématiquement par :\[ H(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} \]Où :
- H(s) est la fonction de transfert.
- Y(s) est la transformée de Laplace de la sortie.
- U(s) est la transformée de Laplace de l'entrée.
Une fonction de transfert est spécifique aux systèmes linéaires et ne s'applique pas aux systèmes non linéaires.
Considérons un circuit RLC simple. La fonction de transfert de ce circuit peut être exprimée par:\[ H(s) = \frac{1}{LC}s^2 + \frac{R}{L}s + 1 \]Cela démontre le nivèlement des fonctions par le biais du circuit en question.
Explorons un peu plus. Dans le cas d'un système à plusieurs entrées et plusieurs sorties (MIMO), chaque paire entrée-sortie est décrite par sa propre fonction de transfert. Par conséquent, un système MIMO est représenté par une matrice de fonctions de transfert. Par exemple, si un système a deux entrées et deux sorties, sa matrice de fonctions de transfert pourrait ressembler à ceci :
| H_{11}(s) | H_{12}(s) |
| H_{21}(s) | H_{22}(s) |
Propriétés fonction de transfert
Les propriétés des fonctions de transfert sont essentielles pour comprendre comment un système réagit aux différentes entrées. Ces propriétés permettent d'analyser la stabilité, la réponse fréquentielle et bien d'autres aspects d'un système.
Stabilité du système
La stabilité d'un système dépend directement de la fonction de transfert. Un système est stable si toutes les racines du dénominateur de sa fonction de transfert ont des parties réelles négatives. C'est-à-dire que si \[ H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \] , alors toutes les solutions à \[ D(s) = 0 \] doivent avoir des parties réelles négatives pour que le système soit stable.
En pratique, un système peut être marginalement stable, ce qui signifie qu'une perturbation peut le faire devenir instable.
Réponse en fréquence
La réponse fréquentielle d'un système est une autre propriété clé. Elle est utilisée pour analyser comment un système réagit à des entrées sinusoïdales de différentes fréquences. La fonction de transfert permet de déterminer le gain et le déphasage introduits par le système à chaque fréquence.
Prenons un système avec la fonction de transfert \[ H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \]. De cette fonction, vous pouvez déterminer comment le système répondra à différentes fréquences d'entrée en substituant \[ s = j\omega \].
Une manière de représenter la réponse en fréquence est d'utiliser le diagramme de Bode. Ce diagramme montre le module et la phase d'une fonction de transfert en fonction de la fréquence sur un axe logarithmique. Pour notre exemple de \[ H(s) = \frac{1}{s^2 + 3s + 2} \], en substituant \[ s = j\omega \], vous pouvez tracer les deux diagrammes :
- Amplitude : \[ 20\log_{10}|H(j\omega)| \]
- Phase : \[ \angle H(j\omega) \]
Causalité et réalisabilité
Une fonction de transfert peut aussi indiquer si un système est causal et réalisable. En général, un système est causal si sa sortie à tout moment dépend uniquement des valeurs présentes et passées de l'entrée. Un test immédiat est que le degré du numérateur de la fonction de transfert ne doit pas dépasser celui du dénominateur.
La causalité est définie comme :
- Pour \[ H(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \], si \[ \text{deg}(N) \leq \text{deg}(D) \], alors le système est causal.
Les systèmes non causaux peuvent souvent être convertis en systèmes causaux avec une analyse et un design appropriés.
Fonction de transfert en boucle ouverte
La fonction de transfert en boucle ouverte est un outil essentiel pour analyser le comportement d'un système sans rétroaction. Cela signifie que la sortie n'influence pas l'entrée directement.
Décomposition de la fonction de transfert en boucle ouverte
Pour comprendre la fonction de transfert en boucle ouverte, analysons sa représentation sous forme de fractions rationnelles. En général, elle prend la forme suivante:\[ G(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \, ... \, + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \, ... \, + a_1 s + a_0} \]La fonction se compose d'un numérateur et d'un dénominateur qui sont des polynômes en termes de la variable complexe \(s\).
- Numérateur : Définit les pôles du système en boucle ouverte.
- Dénominateur : Représente les zéros du système.
Prenons un exemple simple d'un système en boucle ouverte, où \[ G(s) = \frac{s + 2}{s^2 + 4s + 5} \]. Ici,
- Le numérateur \(s + 2\) indique un zéro à \(s = -2\).
- Le dénominateur \(s^2 + 4s + 5\) a des pôles définis par les racines de cette équation. Vous pouvez calculer ces racines en utilisant la formule quadratique.
Analyse de la réponse en boucle ouverte
Analyser la réponse en boucle ouverte d'un système est crucial pour évaluer sa performance avant d'appliquer une rétroaction. Cette analyse implique de vérifier la réponse de l'entrée à une fonction de transfert donnée.
La stabilité et la précision sont des aspects cruciaux à explorer davantage. Dans l'analyse de la stabilité, un système en boucle ouverte est dit stable si tous les pôles de \(G(s)\) ont des parties réelles négatives. Cela garantit que la sortie ne diverge pas infiniment pour une entrée bornée.
- Critère de Nyquist : Un outil souvent utilisé pour évaluer la stabilité en traçant une courbe de réponse en fréquence.
- Diagramme de Bode : Offre un aperçu sur la stabilité et la marge de gain avec des tracés logarithmiques.
Fonction de transfert ordre 2
Une fonction de transfert d'ordre 2 est un outil essentiel pour modéliser des systèmes avec deux pôles dominants. Ceux-ci sont souvent utilisés en électronique, mécanique et automatique pour des systèmes oscillants ou résonants.
Stabilité fonction de transfert
La stabilité d'un système avec une fonction de transfert d'ordre 2 dépend fortement de la position de ses pôles dans le plan complexe. Pour une fonction de transfert de la forme :\[ H(s) = \frac{\beta_0}{s^2 + 2\beta_1s + \beta_2} \]La stabilité est assurée si les pôles ont des parties réelles négatives.
Pour un système stable, les racines de \( s^2 + 2\beta_1s + \beta_2 = 0 \) doivent être :
- Réelles et négatives, ou
- Complexes avec des parties réelles négatives.
L'analyse des racines d'une fonction de transfert d'ordre 2 vous permet d'identifier le comportement dynamique du système. Avec le discriminant \( \triangle = (2\beta_1)^2 - 4\beta_2 \), voici les scénarios possibles :
- Si \( \triangle > 0 \), deux racines réelles et distinctes, indique un système possiblement suramorti.
- Si \( \triangle = 0 \), deux racines réelles égales, suggérant un système critique.
- Si \( \triangle < 0 \), racines complexes conjuguées, indiquant un comportement oscillatoire sous-dampé.
fonction de transfert - Points clés
- La fonction de transfert est un concept en ingénierie qui décrit la relation entrée-sortie pour un système linéaire invariant dans le temps, souvent représentée dans le domaine de Laplace.
- La stabilité d'un système dépend de la fonction de transfert et est stable si toutes les racines du dénominateur ont des parties réelles négatives.
- La fonction de transfert en boucle ouverte analyse un système sans rétroaction et se compose de numérateurs (zéros) et dénominateurs (pôles) polynomiaux en termes de s.
- Les propriétés de la fonction de transfert incluent l'analyse de la réponse fréquentielle et la stabilité du système, essentiel pour comprendre comment un système réagit aux entrées.
- Une fonction de transfert d'ordre 2 modélise les systèmes avec deux pôles dominants, et sa stabilité dépend de la position des pôles dans le plan complexe.
- Exemple: Pour un circuit RLC, la fonction de transfert est H(s) = 1/(LC)s^2 + (R/L)s + 1, et pour un système avec H(s) = 1/(s^2 + 3s + 2), la réponse fréquentielle est analysée en remplaçant s par jω.
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