Kepler: Lois et contributions en astronomie

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Les lois de Kepler - application et découverte

Depuis l'Antiquité jusqu'aux temps modernes, la plupart des gens croyaient en une vision du monde géocentrique (ou vision du monde ptolémaïque en Égypte ancienne). La Terre se trouve au centre de l'univers et est entourée de tous les autres corps célestes.

Mais cette théorie ne permettait pas d'expliquer le mouvement observé des planètes dans le ciel. C'est pourquoi, en 1543, l'érudit Nicolas Copernic a postulé la vision héliocentrique du monde. Selon cette théorie, la Terre, tout comme les autres planètes, se déplace autour du soleil.

Si ces sujets t'intéressent, tu peux les approfondir dans les articles sur la vision du monde héliocentrique et la vision du monde géocentrique.

A l'aide de cette théorie, le mathématicien et astronome Johannes Kepler a essayé de décrire le mouvement des planètes. Kepler les a formulées sous forme de trois lois dans ses deux ouvrages Astronomia Nova (latin pour nouvelle astronomie) et Harmonices Mundo (latin pour harmonies du monde) :

Les trois lois de Kepler décrivent le mouvement des planètes dans notre système solaire :

I. Les planètes se déplacent en orbites elliptiques autour du soleil, qui se trouve à l'un de ses foyers.

II. la distance de connexion entre le soleil et la planète couvre la même surface dans le même temps.

III. Les carrés des périodes de rotation sidérales de deux planètes se comportent l'un par rapport à l'autre comme la troisième puissance de leurs grands demi-axes.

La durée de la révolution sidérale est le temps qu'il faut à un corps céleste pour revenir à son point de départ. La durée de la révolution sidérale de la Terre est par exemple de 365 jours, soit un an.

Kepler a trouvé la première application des trois lois en confirmant mathématiquement les données de l'astronome danois Tycho Brahe. Celui-ci avait auparavant décrit les orbites de différentes planètes, dont celle de Mars. Plus tard, Kepler a appliqué ses lois avec autant de succès à d'autres observations astronomiques, entre autres les orbites des lunes de Jupiter.

Et aujourd'hui encore, nous pouvons régulièrement utiliser les lois de Kepler dans la recherche astronomique. Aujourd'hui, nous utilisons ces lois pour décrire les systèmes d'étoiles doubles et même les trajectoires des corps célestes autour d'un trou noir.

Contrairement aux modèles précédents, Kepler a décrit les orbites des planètes comme des ellipses plutôt que des cercles. Nous allons donc commencer par examiner les bases de la géométrie des ellipses.

Lois de Kepler - Aperçu de la géométrie des ellipses

Une ellipse est une figure géométrique fermée de forme ovale. Elle possède toujours au moins deux axes. Si tu relies les deux points les plus éloignés de l'ellipse par une ligne droite, tu obtiens le grand axe 2a. La distance de l'un de ces points au centre de la droite est appelée grand demi-axe a.

Si tu dessines une autre ligne droite perpendiculaire au grand demi-axe et passant par le centre de l'ellipse, tu obtiens le petit axe 2b. Le petit demi-axe b est la distance entre le centre M et le point d'intersection de la droite perpendiculaire et de l'ellipse.

En mathématiques, tu connais peut-être déjà ce que l'on appelle la définition du lieu d'une ellipse.

La définition du lieu décrit une ellipse comme l'ensemble de tous les points dont la somme des distances aux points focaux $F_{1}$ et $F_{2}$ correspond au grand demi-axe 2a.

Cela signifie que les deux distances et ensemble sont aussi grandes que le grand axe 2a. La distance entre le centre M et l'un des deux foyers s'appelle l'excentricité linéaire e. La figure 1 ci-dessous donne un nouvel aperçu des principales désignations d'une ellipse.

Lois de Kepler Géométrie des ellipses StudySmarter Fig. 1 : Termes de base de la géométrie des ellipses.

Comme tu peux le voir, la distance de connexion entre les points focaux est $F_{1}$ et $F_{2}$ aussi grand que le grand demi-axe a. En appliquant le théorème de Pythagore, tu peux maintenant établir un rapport entre différentes distances de l'ellipse.

Tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour calculer les distances dans un triangle rectangle. Dans ce cas, le carré de l'hypoténuse c est égal à la somme du carré des bords latéraux a et b:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

La figure 2 ci-dessous illustre ce rapport :

Les lois de Kepler Study Smarter Fig. 2 : Théorème de Pythagore

Tu trouveras plus d'informations sur le théorème de Pythagore dans l'article correspondant.

Si tu appliques le théorème de Pythagore à l'ellipse, la distance de connexion entre le point focal et l'hypoténuse est. Tu obtiens ainsi le rapport suivant :

Tu peux ainsi calculer ce que l'on appelle l'excentricité numérique.

Tu appelles excentricité numérique $ε$ le rapport entre l'excentricité linéaire e et le grand demi axe a :

$ε = \frac{e}{a}$

Pour une ellipse, l'excentricité numérique est comprise entre 0 et 1. Tu peux donc déterminer la forme de l'ellipse à partir de l'excentricité numérique. Plus l'excentricité numérique est petite, plus la forme est circulaire. Le tableau suivant donne un bref aperçu de l'excentricité numérique.

Cercle	Ellipse	Parabole
$ε = 0$	$0 < ε < 1$	$ε = 1$
Fig. 3 : Trajectoire circulaire	Fig. 4 : Trajectoire de l'ellipse	Fig. 5 : Trajectoire parabolique

1ère loi de Kepler (théorème de l'ellipse)

Selon la première loi de Kepler (théorème de l'ellipse), les planètes se déplacent sur des orbites elliptiques autour du soleil. Celui-ci se trouve à l'un des foyers de l'orbite elliptique. Le point le plus proche du soleil sur l'orbite elliptique est appelé périhélie , le point le plus éloigné du soleil est appelé aphélie.

Lois de Kepler Théorie de l'ellipse Étude Fig. 6 : Jeu d'ellipses

Le soleil n'est donc pas non plus au centre de l'orbite de la planète, mais à l'un des deux foyers. Cela signifie que la distance d'une planète au soleil est différente à différents points de son orbite.

Lois de Kepler périhélie aphélie Terre StudySmarter Fig. 7 : Le périhélie et l'aphélie de la Terre.

Début janvier, la Terre se trouve au périhélie, sa distance au soleil est alors de 147,1 millions de kilomètres. Début juillet, la Terre se trouve à l'aphélie, à une distance de 152,1 millions de kilomètres.

Tu vois donc que la distance de la terre au soleil n'a rien à voir avec l'apparition des saisons. Celles-ci se produisent en effet en raison de l'inclinaison de l'axe de la Terre et des différents angles de rayonnement du soleil.

La distance moyenne entre la Terre et le Soleil est appelée unité astronomique AE . Elle est exactement de $1 A E = 149.597.870 k m$ C'est une unité importante en astronomie.

2ème loi de Kepler - explication (théorème de la surface)

Selon la deuxième loi de Kepler (théorème de la surface), la distance entre le soleil et la planète considérée parcourt des surfaces A de même taille en un temps égal $∆ t$ :

$\frac{A_{1}}{△ t_{1}} = \frac{A_{2}}{△ t_{2}} = . . . = \frac{A_{n}}{△ t_{n}}$

Plus une planète est proche de Soleil , plus elle est attirée par sa gravitation. Accélérée par cette attraction, la vitesse des planètes proches de Soleil augmente et ralentit à nouveau au fur et à mesure que la planète s'éloigne de Soleil .

Par exemple, la vitesse de la Terre à l'aphelin et au périhélie est de. C'est pourquoi l'été est plus long que l'hiver dans l'hémisphère nord. En été, la Terre se trouve plus loin de Soleil et est donc plus lente.

C'est ce qu'illustre également l'image suivante :

F3 2 loi de Kepler explication jeu de surface StudySmarter Fig. 8 : Théorème de la surface

Si la planète est proche du soleil, la ligne de jonction est certes plus courte, mais la distance parcourue est plus longue. Tu connais cela dans la vie quotidienne : si tu cours, tu peux parcourir une plus grande distance dans le même temps que si tu marches tranquillement.

3ème loi de Kepler

La troisième loi de Kepler stipule que les carrés des périodes de révolution sidérale $T_{s i d}$ de deux corps célestes ayant le même corps central se rapportent l'un à l'autre comme la troisième puissance de leurs grands demi-axes.

$\frac{{(a_{1})}^{3}}{{(T_{1})}^{2}} = \frac{{(a_{2})}^{3}}{{(T_{2})}^{2}} = . . . = \frac{{(a_{n})}^{3}}{{(T_{n})}^{2}}$

Tu appelles C la constante de Kepler. Celle-ci est différente pour chaque corps central et tu l'exprimes en $\frac{s^{2}}{m^{3}}$ Tu peux l'indiquer.

Lois de Kepler troisième loi StudySmarter Fig. 9 : Troisième loi de Kepler

La durée de la révolution sidérale est le temps qu'il faut à une planète pour tourner autour du soleil. La durée de la révolution synodique indique le temps nécessaire à une planète pour retrouver la même position par rapport à la Terre et au Soleil.

Plus une planète est éloignée du soleil, plus le grand demi-axe a de son orbite elliptique est grand et plus il lui faut de temps pour faire le tour du soleil. Ce rapport entre la taille de la période de rotation et le demi-axe d'une planète donne ce que l'on appelle la constante de Kepler, que nous allons également calculer pour le soleil dans l'exemple suivant :

Tâche

La Terre possède un grand demi-axe de $a_{E} = 1 A E$ et une période de révolution sidérale d'un an. $T_{E} = 365 d$ .

En utilisant la troisième loi de Kepler, donne la constante de Kepler C pour le soleil.

Solution

a. Tu peux calculer la constante de Kepler pour le soleil en utilisant la troisième loi de Kepler et en divisant le carré de la période de rotation de la Terre par la troisième puissance de son demi-axe :

$C = \frac{{(T_{E})}^{2}}{{(a_{E})}^{3}}$

Pour cela, tu dois d'abord convertir les jours (d) en secondes :

$\begin{array}{rcl} T_{E} & = & 365 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 s \\ = & 3, 154 \cdot 10^{7} s \end{array}$

et convertir l'unité AE en m :

$\begin{array}{rcl} a_{E} & = & 1 A E \\ = & 149.597.870.700 m \end{array}$

Tu peux ensuite utiliser ces valeurs pour obtenir la constante de Kepler pour le soleil :

$\begin{array}{rcl} C_{S o n n e} & = & \frac{{(3, 154 \cdot 10^{7} s)}^{2}}{{(149.597.870.700 m)}^{3}} \\ \approx & 2, 976 \cdot 10^{- 19} \frac{s^{2}}{m^{3}} \end{array}$

Tu peux aussi calculer cette constante en faisant le rapport entre la période de rotation et le grand demi-axe de chaque autre planète de notre système solaire.

D'ailleurs, cette loi s'applique à tous les corps célestes ayant le même astre central. Donc, par exemple, aussi pour deux lunes de Saturne ou pour deux satellites autour de la Terre. Tu obtiens ainsi la constante de Kepler pour chaque planète à son point focal.

3ème loi de Kepler - formule et déduction (forme générale)

La troisième loi de Kepler correspond à la théorie de Newton sur la gravitation et peut même être déduite de celle-ci, bien que Kepler soit né plus de 70 ans avant Newton. En transformant l'équation, tu obtiens également la période de rotation d'une planète autour de son étoile centrale ou d'un satellite autour de la Terre.

Examinons d'abord brièvement la loi de la gravitation de Newton.

Si le sujet t'intéresse, tu en apprendras plus dans l'article correspondant.

La loi de la gravitation de Newton , formulée par Isaac Newton en 1687, stipule que deux masses s'attirent mutuellement en raison de leur force de gravitation. Les forces d'attraction agissent de manière opposée et le long de la ligne qui relie les deux corps. Tu peux calculer la force gravitationnelle avec la formule suivante :

$F_{G} = G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r}$

$F_{G} : G r a v i t a t i o n s k r a f t G : G r a v i t a t i o n s k o n s \tan t e m_{1, 2} : M a s s e d e r O b j e k t e r : A b s \tan d d e r M a s s e n$

G est ce que l'on appelle la constante gravitationnelle universelle, qui indique l'intensité de la force gravitationnelle.

Lois de Kepler Loi de la gravitation de Newton StudySmarter Fig. 10 : Loi de la gravitation de Newton

Ces deux corps de masse $m_{1}$ et $m_{2}$ tournent autour d'un centre de gravité commun S, qui est plus proche du corps le plus massif. Cependant, les deux corps mettent le même temps à tourner autour du centre de gravité commun. Tu peux donc en déduire que le corps le plus éloigné a une vitesse plus élevée. Ce rapport est illustré dans l'image suivante :

Lois de Kepler point commun StudySmarter Fig. 11 : Centre de gravité commun

Pour déduire la forme étendue de la troisième loi de Kepler, tu peux à nouveau assimiler la force centripète et la force gravitationnelle, mais tu as d'abord besoin du théorème du centre de gravité. L'exemple suivant te montre exactement comment tu peux déduire cette formule lors de l'examen.

Celui-ci stipule que les forces centrales $F_{Z}$ sur les deux corps est de valeur égale.

$\begin{array}{rcl} F_{Z 1} & = & F_{Z 2} \\ m_{1} \cdot {(ω_{1})}^{2} \cdot r_{1} & = & m_{2} \cdot {(ω_{2})}^{2} \cdot r_{2} \end{array}$

Comme les deux corps tournent autour du centre de gravité commun en même temps, la vitesse angulaire est valable :

$ω = ω_{1} = ω_{2}$

Tu peux donc réduire cette valeur de l'équation :

$m_{1} \cdot r_{1} = m_{2} \cdot r_{2}$

Les deux rayons sont respectivement la distance entre le centre gravitationnel du corps et le centre de gravité commun. Si tu veux calculer la distance entre les centres gravitationnels des deux corps, il te suffit d'additionner les deux rayons :

$r = r_{1} + r_{2}$

Tu peux ensuite résoudre cette équation selon l'un des deux rayons et l'insérer dans l'équation :

$r_{2} = r - r_{1}$

Tu peux maintenant l'utiliser dans la formule déjà connue :

$\begin{array}{rcl} m_{1} \cdot r_{1} & = & m_{2} \cdot (r - r_{1}) \\ m_{1} \cdot r_{1} & = & m_{2} \cdot r - m_{2} \cdot r_{1} | + m_{2} \cdot r_{1} \\ r_{1} \cdot (m_{1} + m_{2}) & = & m_{2} \cdot r | \div (m_{1} + m_{2}) \\ r_{1} & = & \frac{m_{2} \cdot r}{(m_{1} + m_{2})} \end{array}$

Comme ci-dessus, tu assimiles à nouveau la force centripète et la force gravitationnelle, et tu remplaces la force centrifuge par la force gravitationnelle. $r_{1}$

$\begin{array}{rcl} F_{G} & = & F_{z} \\ G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}} & = & m_{1} \cdot {(ω_{1})}^{2} \cdot r_{1} \\ G \cdot \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{r^{2}} & = & m_{1} \cdot {(ω_{1})}^{2} \cdot \frac{r \cdot m_{2}}{(m_{1} + m_{2})} \end{array}$

Ici, tu peux réduire les deux masses et :

$\begin{array}{rcl} \frac{G}{r^{3}} \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} = \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array} \begin{array}{rcl} m \end{array} \begin{array}{rcl} \end{array}$ ₁ · ω1² · r · m2m1 + m2 |÷m1· m2Gr3 = ω1² · r m1 + m2

Dans la dernière étape, tu peux encore calculer la vitesse angulaire. $ω$ la formule $ω = \frac{2 π}{T}$ Utiliser le carré de la période de rotation sidérale. $T^{2}$ et diviser par la constante gravitationnelle G pour obtenir la forme étendue de la troisième loi de Kepler :

$\begin{array}{rcl} \frac{G}{r^{3}} & = & {(ω_{1})}^{2} \cdot \frac{1}{(m_{1} + m_{2})} \\ \frac{G}{r^{3}} & = & {(\frac{2 π}{T})}^{2} \cdot \frac{1}{(m_{1} + m_{2})} \\ \frac{G}{r^{3}} & = & \frac{4 π^{2}}{T^{2}} \cdot \frac{1}{(m_{1} + m_{2})} | \div G | \cdot T^{2} \\ \frac{T^{2}}{r^{3}} & = & \frac{4 π^{2}}{G \cdot (m_{1} + m_{2})} \end{array}$

En utilisant le théorème du centre de gravité, tu peux donc combiner la 3e loi de Kepler avec la loi de la gravitation de Newton et obtenir la forme étendue.

La forme étendue de la troisième loi de Kepler s'applique à deux masses qui tournent en orbite circulaire autour du centre de gravité commun S (également appelé barycentre ) sous l'effet de la gravitation :

$\frac{\begin{array}{rcl} T^{2} \end{array}}{r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G \cdot (m_{1} + m_{2})}$

$T : U m l a u f d a u e r r : R a d i u s G : G r a v i t a t i o n s k o n s \tan t e m_{1, 2} : M a s s e n d e r b e i d e n K ö r p e r (m_{1} > m_{2})$

Si la masse des deux corps est très différente, tu peux négliger la masse du plus petit corps et utiliser une variante simplifiée de la formule :

$\frac{\begin{array}{rcl} T^{2} \end{array}}{r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G \cdot m_{1}}$

Tu peux utiliser la deuxième formule pour les corps très massifs, car dans ce cas, le centre de gravité des deux corps se trouve dans le corps le plus massif. C'est par exemple le cas dans notre système solaire : la masse du soleil est plus de 330 000 fois supérieure à celle de la Terre ! C'est pourquoi, dans le calcul, la masse de la Terre ne pèserait que sur une décimale éloignée.

Lois de Kepler - Calcul de la période de rotation

Tu peux aussi utiliser la formule générale de la loi de Kepler pour calculer la période de rotation d'un corps céleste autour de son corps central. Pour cela, tu utilises l'une des deux formules de la troisième loi de Kepler élargie, en fonction du système que tu considères et de la différence de masse des deux corps. En multipliant par le rayon r et en tirant la racine, tu calcules ainsi la durée de rotation T.

Pour calculer la durée de rotation d'un corps, applique la formule convertie de la troisième loi de Kepler étendue :

$\begin{array}{rcl} T \end{array} = \sqrt{\frac{4 π^{2} \cdot r^{3}}{G \cdot (m_{1} + m_{2})}}$

$T : U m l a u f d a u e r r : R a d i u s G : G r a v i t a t i o n s k o n s \tan t e m_{1, 2} : M a s s e n d e r b e i d e n K ö r p e r (m_{1} > m_{2})$

Tu peux maintenant calculer comment les planètes de notre système solaire se comportent sur leurs orbites à l'aide des lois de Kepler. Les mêmes principes s'appliquent également à tous les autres objets de l'univers. C'est ce que tu appelles le principe cosmologique.

Les lois de Kepler - l'essentiel

L'astronome Johannes Kepler a formulé trois lois importantes concernant le mouvement des planètes autour du soleil.
Selon la première loi de Kepler (théorème de l'ellipse), les planètes se déplacent sur des orbites elliptiques autour du soleil. Celle-ci se trouve à l'un des foyers de l'orbite elliptique.
Une ellipse est une figure géométrique fermée de forme ovale avec deux axes : un axe principal 2a et un axe secondaire 2b. Les ellipses possèdent également deux foyers.
L'excentricité numérique $ε$ tu désignes le rapport entre l'excentricité linéaire e et le grand demi-axe a : $ε = \frac{e}{a}$ . L'excentricité numérique d'une ellipse est comprise entre 0 et 1.
Selon ladeuxième loi de Kepler (théorème de la surface), la distance entre le Soleil et la planète considérée couvredes surfaces égales dans le même temps :
$\frac{A_{1}}{△ t_{1}} = \frac{A_{2}}{△ t_{2}} = . . . = \frac{A_{n}}{△ t_{n}}$
Latroisième loi de Kepler stipule que les carrés des périodes de révolution sidérale et de deux corps célestes ayant le même corps central se comportent l'un par rapport à l'autre comme la troisième puissance de leurs grands demi-axes:
$\frac{{(a_{1})}^{3}}{{(T_{1})}^{2}} = \frac{{(a_{2})}^{3}}{{(T_{2})}^{2}} = . . . = \frac{{(a_{n})}^{3}}{{(T_{n})}^{2}}$
Avec la loi de la gravitation newtonienne, tu peux calculer la forme étendue de la troisième loi de Kepler pour deux masses qui tournent en orbite circulaire autour du centre de gravité commun S (également appelé barycentre ) :

$\frac{\begin{array}{rcl} T^{2} \end{array}}{r^{3}} = \frac{4 π^{2}}{G \cdot (m_{1} + m_{2})}$

Avec les lois de Kepler, tu peux par exemple calculer la durée de la révolution T:

$\begin{array}{rcl} T & = & \sqrt{\frac{4 π^{2} \cdot r^{3}}{G \cdot (m_{1} + m_{2})}} \end{array}$

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Questions fréquemment posées en Kepler

Qui était Johannes Kepler?

Johannes Kepler était un astronome, mathématicien et astrologue allemand du XVIIe siècle, célèbre pour ses lois sur le mouvement des planètes.

Quelles sont les lois de Kepler?

Les lois de Kepler sont trois principes du mouvement des planètes: 1) Les orbites des planètes sont elliptiques, 2) Les planètes se déplacent plus rapidement près du Soleil, et 3) La période orbitale et la distance au Soleil sont liées.

Pourquoi les lois de Kepler sont-elles importantes?

Les lois de Kepler sont importantes car elles ont permis de mieux comprendre le système solaire, ont confirmé la théorie héliocentrique et ont jeté les bases de la mécanique céleste.

Comment Kepler a-t-il découvert ses lois?

Kepler a découvert ses lois en analysant les observations astronomiques réalisées par Tycho Brahe, grâce à ses compétences en mathématiques et sa compréhension de l'astronomie.

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