Formule de Black-Scholes

Comprendre les bases de la formule du modèle Black-Scholes

Importance de la formule Black-Scholes dans la finance d'entreprise

Déconstruction de la formule Black Scholes

La formule de Black Scholes n'est pas aussi intimidante qu'il n'y paraît au premier abord. La formule qui sous-tend ce modèle est la suivante :

\[ C = S_t N(d_1)- Xe^{-r(T-t)}N(d_2) \]

Ici ,

• \N(C\N) est la valeur de l'option d'achat
• \N(S_t\N) est le prix actuel de l'action sous-jacente
• \N(N\N) est la fonction de distribution normale standard cumulative
• \(X\) est le prix d'exercice de l'option
• \N(e\N) est la fonction exponentielle
• \(r\) est le taux d'intérêt sans risque
• \N(T - t\N) est le temps écoulé jusqu'à l'échéance de l'option

Composants et application de la formule de Black Scholes

Chacune des variables de la formule de Black-Scholes joue un rôle essentiel. Par exemple, le cours actuel de l'action et le prix d'exercice déterminent directement la valeur intrinsèque de l'option. La volatilité du cours de l'action a un impact significatif sur la valeur temporelle de l'option, et le taux d'intérêt sans risque est essentiel pour actualiser les flux de trésorerie futurs.

Formule de Black-Scholes pour les options de vente

Lorsque l'on considère la formule de Black Scholes, il est important de noter qu'elle ne s'applique pas seulement aux options d'achat, mais aussi aux options de vente. Les options de vente donnent au détenteur le droit, mais non l'obligation, de vendre un actif spécifique à un prix prédéterminé dans un certain délai. La formule de Black Scholes pour une option de vente permet de quantifier la valeur de ces options.

Comprendre les options de vente dans le modèle de Black-Scholes

Avant de plonger dans la formule des options de vente, il est essentiel de comprendre le concept sous-jacent de l'option de vente. Une option de vente est un contrat financier qui donne à un investisseur le droit de vendre des actions d'un titre sous-jacent à un prix déterminé, appelé prix d'exercice. L'investisseur n'est pas obligé de vendre, mais il a le droit de le faire jusqu'à l'expiration de l'option.

De même que pour les options d'achat, la formule de Black Scholes pour les options de vente implique également plusieurs variables qui déterminent collectivement son prix ou sa prime :

• Le prix actuel du titre sous-jacent (\(S_t\)).
• Le prix d'exercice de l'option (\(X\))
• Le temps qui s'écoule jusqu'à l'expiration de l'option (\(T - t\))
• Le taux d'intérêt sans risque (\(r\))
• La volatilité des rendements du titre (σ)

La formule de Black-Scholes pour une option de vente européenne est donnée par :

\[ P = Xe^{-r(T-t)}N(-d_2) - S_tN(-d_1) \]

Où ,

• \N(P\N) est le prix de l'option de vente
• \N(N\N) représente la fonction de distribution cumulative de la distribution normale standard
• \(d1\) et \ (d2\) sont dérivés de la formule originale de Black-Scholes et peuvent être calculés en fonction des autres variables.

Exemples pratiques de la formule de Black-Scholes pour l'option de vente

La compréhension du modèle de Black Scholes pour les options de vente resterait incomplète sans exemples pratiques. Considérons un scénario hypothétique pour démontrer son utilisation.

Le prix du titre sous-jacent et le prix d'exercice jouent un rôle majeur pour déterminer s'il serait rentable pour l'investisseur d'exercer l'option de vente. De même, la durée jusqu'à l'expiration, le taux d'intérêt sans risque et la volatilité du rendement entrent tous en ligne de compte dans la valeur de l'option de vente, ce qui montre que le modèle Black-Scholes prend en compte de manière exhaustive divers facteurs dans le calcul du prix de l'option.

Il est important de toujours garder à l'esprit que le modèle Black-Scholes, bien que robuste, est basé sur des hypothèses qui peuvent ne pas se vérifier sur les marchés réels. Par conséquent, les investisseurs sont encouragés à l'utiliser comme point de départ et à ajuster les résultats en fonction des conditions du marché et de leur tolérance au risque.

Formule de Black-Scholes pour les options d'achat

L'une des équations les plus profondes de la finance, la formule d'option d'achat de Black Scholes, est utilisée pour calculer la valeur d'une option d'achat, ce qui peut être vital pour prendre des décisions financières stratégiques. Il s'agit d'un modèle mathématique conçu pour calculer le prix théorique des options, en tenant compte de divers facteurs. Ces facteurs comprennent le cours actuel de l'action, le prix d'exercice, le temps jusqu'à l'expiration, le taux d'intérêt sans risque et, notamment, la volatilité de l'actif.

Comment calculer les options d'achat à l'aide de la formule de Black Scholes ?

Pour calculer le prix des options d'achat à l'aide de la formule de Black Scholes, il faut comprendre et évaluer ses principaux éléments. La formule est la suivante :

\[ C = S_t N(d_1)- Xe^{-r(T-t)}N(d_2) \]

Chaque symbole de cette formule représente un composant spécifique :

• \N(C\N) indique le prix de l'option d'achat.
• \N(S_t\N) représente le prix actuel de l'action
• \N(N\N) signifie la fonction de distribution normale standard cumulative
• \(X\) représente le prix d'exercice de l'option
• \N(e\N) est la base du logarithme naturel
• \(r\) indique le taux d'intérêt sans risque (généralement le taux d'une obligation d'État)
• \(T-t\) signifie le temps qui s'écoule jusqu'à l'expiration de l'option

En outre, une partie essentielle de cette équation réside dans \(d_1\) et \(d_2\), où :

\[ d_1=\frac{\ln\left(\frac{S_t}{X}\right)+(r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t} \] \[ d_2=d_1-\sigma \sqrt{T-t} \]

Ici, \(\sigma\) indique l'écart type des rendements de l'actif, une mesure importante de la volatilité.

En remplissant chacune de ces variables dans la formule de Black-Scholes, tu peux calculer le prix d'une option d'achat européenne sur une action qui ne verse pas de dividende. Note que la formule est conçue spécifiquement pour les options européennes, qui ne peuvent être exercées qu'au moment de l'expiration. Elle ne tient pas compte de l'exercice anticipé qui est typique des options américaines.

Exemples d'application de la formule d'option d'achat de Black Scholes

Comprendre l'application pratique de la formule d'option d'achat de Black Scholes peut considérablement améliorer son efficacité. Considérons un scénario hypothétique.

De même, les entreprises peuvent utiliser la formule de Black Scholes pour déterminer l'évaluation des actions de la société ou pour calculer la valeur des options d'achat d'actions des employés - un élément important de nombreux programmes de rémunération.

Il va sans dire que la formule d'option d'achat de Black Scholes peut être un outil inestimable dans la prise de décisions financières. Que ce soit pour les particuliers ou les entreprises, elle fournit un modèle essentiel pour l'évaluation théorique des options. Cependant, n'oublie pas que la formule est basée sur des hypothèses. Sur les marchés réels, la prise en compte de facteurs tels que les coûts de transaction, les impôts et la possibilité d'un exercice anticipé peut entraîner certains écarts par rapport aux prédictions du modèle.

Formule d'évaluation des options de Black Scholes

La formule de Black Scholes est une pierre angulaire de la théorie financière moderne, fournissant un modèle fondamental pour l'évaluation des options. Développée par les économistes Fischer Black et Myron Scholes, avec la contribution notable de Robert Merton, elle établit un cadre théorique pour l'évaluation des options.

L'évaluation des options à l'aide de la formule Black Scholes

La formule de Black-Scholes constitue l'épine dorsale de la théorie contemporaine de l'évaluation des options. Elle repose sur une idée ambitieuse : il est possible de reproduire le gain d'une option en ajustant continuellement un portefeuille de couverture, composé entièrement d'un actif sans risque (généralement des obligations d'État) et de l'action sous-jacente. Cette reproduction, à son tour, fournit une stratégie commerciale dynamique qui peut idéalement éliminer le risque.

Approfondissons la formule. Le modèle Black-Scholes-Merton détermine le prix d'une option d'achat européenne, qui ne permet l'exercice qu'à l'expiration. La formule est d'une élégance caractéristique :

\[ C = S_{0}N(d_{1}) - e^{-rT}KN(d_{2}) \]

Où :

• \(C\N) représente le prix de l'option d'achat
• \(S_{0}\) est le prix au comptant de l'actif sous-jacent
• \(K\) est le prix d'exercice de l'option
• \(T\) est le temps jusqu'à l'expiration en années
• \(r\) est le taux d'intérêt sans risque
• \(N()\) représente la distribution normale standard cumulative
• \N- \N(d_{1}\N) et \N(d_{2}\N) sont des formules elles-mêmes, calculées par :

\[ d_{1}= \frac{1}{\sigma\sqrt{T}}[ln(\frac{S_0}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T] \] et \[ d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \].

Notamment, le terme \N(S_0N(d_1)\N indique l'avantage attendu de l'achat de l'action sous-jacente. Le terme \(e^{-rT}KN(d_2)\) représente la valeur actuelle du paiement du prix d'exercice à la date d'expiration. La différence entre ces deux valeurs donne la juste valeur de l'option d'achat.

Il est important de se rappeler que la validité de cette formule repose sur quelques hypothèses. Elle suppose que le titre sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique avec une volatilité constante, et qu'il n'y a pas de coûts de transaction ou de pénalités pour les ventes à découvert. De plus, le taux sans risque et la volatilité sont supposés être constants.

Comprendre le gamma de l'option dans la formule de Black-Scholes

Les "grecques d'option" constituent un prolongement intéressant et précieux du modèle de Black-Scholes. Ces mesures, nommées d'après des lettres grecques, donnent un aperçu plus détaillé du comportement des prix des options. La mesure connue sous le nom de Gamma, symbolisée par la lettre grecque Γ, est particulièrement importante. Elle explique la sensibilité du delta de l'option par rapport au prix de l'actif sous-jacent.

Le Delta (\(\Delta\)) d'une option, un autre grec, mesure le taux de variation du prix de l'option par rapport aux variations du prix de l'actif sous-jacent. Pour une faible variation du cours de l'action, le delta correspond approximativement à la variation du prix de l'option. À mesure que tu t'éloignes du prix initial de l'action, le Delta change. Gamma permet de tenir compte de ce changement.

Pour comprendre le Gamma, fais une analogie. Si la variation du prix d'une option (compte tenu d'une variation du prix de l'action) s'apparentait à une accélération, Delta serait la vitesse et Gamma serait le taux de variation de cette vitesse.

La formule de Gamma formulée à partir du modèle de Black Scholes est la suivante :

\[ Γ = \frac{ N'(d_{1}) }{ S_{0}σ\sqrt{T} } \]

Où :

• \N(N'(d_{1})\Nest la dérivée de la distribution cumulative normale standard de \N(d_{1}\N).
• \(S_0\), \(σ\), et \(T\) sont respectivement le prix de l'actif sous-jacent, la volatilité, et le temps jusqu'à l'expiration de l'option.

Une valeur Gamma élevée implique que la sensibilité du prix d'une option à la variation du prix de l'actif sous-jacent (Delta) évolue rapidement. Par conséquent, les négociateurs d'options accordent une grande attention au Gamma, en particulier lorsqu'ils établissent des positions de couverture. Il est important de se rappeler que le Gamma est le plus élevé pour les options à parité (ATM) et le plus bas pour les options à parité profonde (deep-in- ou deep-out-of-money).

Comprendre le Gamma et d'autres grecques comme le Delta, le Thêta et le Véga permet aux traders de gérer les risques plus efficacement. Ces grecques leur permettent d'évaluer comment les variations des diverses conditions du marché - temps jusqu'à l'expiration, volatilité, prix de l'actif sous-jacent - affectent le prix d'une option.

Techniques et exemples de la formule de Black Scholes

La formule de Black Scholes a imprégné divers domaines de la finance, de la négociation d'options à la gestion des risques et à la stratégie d'entreprise. Son application multiforme et sa pertinence rendent vitale la compréhension de ses techniques et de ses exemples.

Techniques de la formule de Black Scholes en pratique

La dynamique financière continue est au cœur de la formule d'évaluation des options de Black-Scholes. Comme nous l'avons déjà mentionné, elle décrit essentiellement une stratégie de couverture dynamique - rééquilibrer constamment un portefeuille de deux actifs pour suivre parfaitement le paiement d'une option d'achat. C'est ce qui permet d'appliquer le principe Black-Scholes-Merton d'absence d'arbitrage, qui constitue le fondement de la théorie financière moderne.

L'application technique de la formule de Black-Scholes commence par la compréhension de ses composants clés et de leurs influences. La formule comprend trois parties principales : le prix de l'actif sous-jacent multiplié par \(N(d1)\), le prix d'exercice actualisé à un taux sans risque multiplié par \(N(d2)\), et la différence entre ces deux éléments. Ici, \(N(. )\) représente la fonction de distribution cumulative de la distribution normale standard.

La première partie, \(S0 \cdot N(d1)\), représente le bénéfice attendu à l'avenir lors de l'exercice de l'option d'achat, tandis que la seconde partie, \(Ke^{-rT} \cdot N(d2)\), représente le coût futur. Ainsi, la formule de Black Scholes équilibre efficacement les bénéfices et les coûts futurs, et cette différence est actualisée en utilisant des mesures de probabilité neutres par rapport au risque.

Il est également essentiel de comprendre les hypothèses qui sous-tendent la formule de Black Scholes. Il s'agit notamment de :

• Le prix de l'action sous-jacente suit un mouvement brownien géométrique avec une volatilité constante.
• Il n'y a pas de coûts de transaction ni de pénalités pour les ventes à découvert.
• Le marché fonctionne en continu, sans brusques sauts de prix.
• Le taux sans risque est connu, constant et identique pour l'emprunt et le prêt.
• L'option ne peut être exercée qu'à l'échéance (option européenne).

Exemples réels de la formule Black-Scholes

L'application des techniques de la formule de Black Scholes dans des scénarios du monde réel permet d'illustrer ses implications pratiques. Voici un exemple simple :

Définition de la formule de Black Scholes

Datant de 1973, la formule Black-Scholes-Merton est apparue pour révolutionner la finance, en fournissant une construction théorique pour évaluer les options d'achat et de vente européennes, façonnant ainsi l'économie financière moderne. Voici un examen plus approfondi de sa définition :

Définition et analyse détaillées de la formule de Black Scholes

Compte tenu de cette définition, la formule de Black Scholes peut être exprimée comme suit : \[ C = S_{0}N(d_{1}) - e^{-rT}KN(d_{2}) \] avec \(d_{1}\) et \(d_{2}\) calculés comme suit : \[ C = S_{0}N(d_{1}) - e^{-rT}KN(d_{2}) \] : \[ d_{1}= \frac{1}{\sigma\sqrt{T}}[ln(\frac{S0}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T] \] et \[ d_{2}=d_{1}-\sigma\sqrt{T} \] La fonction \(N(.La formule elle-même est une solution analytique à l'équation différentielle partielle de Black-Scholes-Merton, en supposant un processus de mouvement brownien géométrique pour le prix du sous-jacent. Elle capture l'aspect de couverture dynamique des marchés financiers - un vendeur d'options peut annuler le risque en détenant un portefeuille de couverture, composé du sous-jacent et de l'actif sans risque, en l'ajustant continuellement dans le temps.En finance, où le risque est au centre des préoccupations, la mesure neutre par rapport au risque simplifie considérablement les calculs .Elle suppose que le taux de croissance du prix de l'action sous-jacente est le taux sans risque, ce qui neutralise le "risque". Bien que peu probable sur les marchés réels, l'introduction de cette mesure simplifie l'exercice d'évaluation des options.Parconséquent, le modèle Black-Scholes remplit son rôle en fournissant une "juste valeur" pour les options, compte tenu des hypothèses établies, en utilisant le principe de l'évaluation neutre par rapport au risque.

Peu de modèles financiers ont eu un impact aussi profond que le modèle Black-Scholes. Malgré ses limites - souvent observées dans l'évaluation des options exotiques, des options américaines ou lors de changements brusques du marché - il reste fondamentalement important dans le monde de la finance. Son héritage va bien au-delà de la fourniture d'une formule d'évaluation des options - il a profondément façonné la théorie financière moderne dans des domaines tels que la couverture, l'arbitrage, la gestion des risques et les décisions relatives à la structure du capital.