Utilité cardinale Vs Utilité ordinale

Plonge dans une exploration intellectuelle de l'utilité cardinale par rapport à l'utilité ordinale, en te plongeant dans le monde complexe de l'économie managériale. Cette matière dissèque les concepts et principes fondamentaux des deux théories de l'utilité et leur rôle central au sein de l'économie. Tu n'auras pas seulement un aperçu de leurs origines et de leurs principes clés, mais tu pourras aussi profiter d'une étude approfondie de leurs applications et de leur signification dans la vie réelle. En outre, tu peux t'attendre à comprendre le lien crucial entre l'indépendance des alternatives non pertinentes et l'utilité cardinale par rapport à l'utilité ordinale. Ce texte sert de guide complet, démystifiant ces facettes clés de la théorie du consommateur et offrant une perspective nouvelle sur la façon dont ces concepts d'utilité fonctionnent dans une économie de marché.

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Sauter à un chapitre clé

    Comprendre l'utilité cardinale et ordinale dans l'économie managériale

    Lorsque l'on étudie les études commerciales, en particulier l'économie managériale, il est pertinent de comprendre des concepts essentiels tels que l'utilité cardinale et l'utilité ordinale. Cette compréhension permet de comprendre comment les consommateurs prennent des décisions et comment ces choix affectent le marché.

    Origine et fondements de l'utilité cardinale et de l'utilité ordinale

    L'utilité cardinale est un concept économique qui suggère que la satisfaction tirée de la consommation peut être mesurée quantitativement. Cela implique que tu peux attribuer des chiffres spécifiques au niveau de satisfaction ou d'utilité dérivé de la consommation d'un bien ou d'un service.

    D'autre part, nous avons la notion d'utilité ordinale.

    Contrairement à l'utilité cardinale, l'utilité ordinale postule que si les consommateurs peuvent classer leurs préférences pour différents biens et services, ils ne peuvent pas exprimer numériquement le degré de satisfaction qu'ils en retirent.

    Cette différenciation essentielle est apparue principalement au début du 20ème siècle dans le cadre d'une "révolution marginaliste" plus large de la pensée économique, où les économistes ont commencé à se concentrer sur les décisions prises "à la marge".

    Principes clés de la théorie de l'utilité cardinale et ordinale

    Lorsque l'on dissèque les principes clés de l'utilité cardinale et ordinale dans l'économie managériale, il est utile de prendre en compte deux éléments principaux : la mesure monétaire et la fonction mathématique. - Dans un scénario d'utilité cardinale, l'utilité est directement liée à l'unité monétaire. Par conséquent, plus tu dépenses, plus tu es satisfait. Cependant, cette relation est soumise à la "loi de l'utilité marginale décroissante". Cette loi, exprimée par la formule \N( U'(x) < 0 \N), où \N( U \N) représente l'utilité et \N( x \N) les biens consommés, suggère que la satisfaction supplémentaire obtenue en consommant une unité supplémentaire d'un produit tend à diminuer au fur et à mesure que l'on en consomme. - Au contraire, l'utilité ordinale n'assimile pas l'utilité à la mesure monétaire. Au contraire, la théorie s'appuie sur un système de classement des préférences par le consommateur. Le consommateur classe les biens ou les services en fonction de leur ordre de préférence.
    Utilité cardinale Utilité ordinale
    Directement liée à l'unité monétaire Repose sur un système de classement des préférences
    Soumise à la loi de l'utilité marginale décroissante Pas de fonction mathématique spécifique

    Il est intéressant de noter que le passage de l'utilité cardinale à l'utilité ordinale reflète une évolution plus large de l'économie, qui passe d'approches plus concrètes et quantitatives à des méthodologies plus abstraites et qualitatives.

    Hypothèses impliquées dans la théorie de l'utilité cardinale et ordinale

    Les théories de l'utilité cardinale et ordinale fondent toutes deux leur analyse sur certaines hypothèses explicites. La théorie de l'utilité cardinale repose sur ces hypothèses clés :
    • Les consommateurs sont rationnels et cherchent à maximiser leur utilité.
    • L'utilité est additive et mesurable
    • L'utilité marginale de l'argent reste constante

    Par exemple, si un consommateur reçoit 10 utils (une unité hypothétique de satisfaction) d'une barre de chocolat et 20 utils d'un livre, il tirera 30 utils de la possession des deux - ce qui indique une utilité additive.

    En revanche, la théorie de l'utilité ordinale repose sur un ensemble différent d'hypothèses :
    • Les consommateurs peuvent classer leurs préférences de manière cohérente
    • Les préférences sont transitivées
    • Toute combinaison de biens est préférable à l'absence de biens.

    Par exemple, si tu préfères le thé au café et le café au lait, la transitivité implique que tu préfères le thé au lait - ce qui rend tes préférences cohérentes et faciles à classer.

    Il est essentiel de comprendre que ces hypothèses créent une base nécessaire pour ces théories, affectant leurs applications possibles dans les décisions économiques et commerciales.

    L'analyse de l'utilité cardinale et ordinale expliquée

    En tant qu'étudiant s'aventurant plus profondément dans le domaine des études commerciales, il est fondamental de saisir les subtilités et les applications de l'analyse de l'utilité cardinale et de l'analyse de l'utilité ordinale. Composantes clés de l'économie managériale, ces théories complexes aident à comprendre le comportement des consommateurs et les principes sous-jacents de la dynamique du marché.

    L'analyse cardinale de l'utilité : Son rôle et sa signification

    Au cours de tes études de gestion, tu seras souvent confronté au concept d'utilité cardinale. Cette notion, enracinée dans l'économie, a une incidence profonde sur la façon dont les entreprises gèrent leurs relations avec les clients et élaborent leurs offres. L'un des principes fondamentaux de l'utilité cardinale est la capacité de mesurer numériquement la satisfaction ou l'"utilité". Cette valeur signifie le degré de satisfaction que les consommateurs retirent d'un bien ou d'un service. N'oublie pas que l'utilité est subjective et qu'elle varie d'un individu à l'autre, en raison de la diversité des préférences personnelles, des goûts ou même du pouvoir d'achat. La loi de l'utilité marginale décroissante est une ramification importante de l'approche cardinale. Exprimée par la formule \( U'(x) < 0 \), cette loi stipule que la satisfaction supplémentaire tirée de la consommation d'une unité supplémentaire d'un produit diminuera généralement à mesure que la consommation augmentera. Ce concept perspicace dissuade les entreprises de surproduire ou de surévaluer les prix des produits et favorise une relation équilibrée avec les consommateurs.

    L'utilité marginale, dans ce contexte, est la satisfaction supplémentaire dérivée de la consommation d'une unité supplémentaire d'un bien ou d'un service.

    De plus, l'utilité cardinale est intrinsèquement associée à des valeurs monétaires, ce qui permet une évaluation précise de l'utilité. C'est la raison pour laquelle l'utilité cardinale est souvent à la base de nombreux modèles d'analyse économique et commerciale, tels que le calcul du surplus du consommateur ou l'économie du bien-être.

    Analyse de l'utilité cardinale par rapport à l'utilité ordinale : Principales différences

    Après avoir exploré l'analyse de l'utilité cardinale, il est important de l'opposer à la théorie de l'utilité ordinale pour mieux comprendre le comportement des consommateurs. Contrairement à l'utilité cardinale, la théorie de l'utilité ordinale part du principe que les consommateurs ne peuvent pas exprimer numériquement la satisfaction qu'ils retirent de la consommation de différents biens ou services. Les consommateurs classent plutôt leurs préférences de façon ordonnée, d'où le terme "ordinal". Cette disparité dans l'évaluation quantitative sous-tend les principales différences entre les deux approches.

    Dans la théorie de l'utilité ordinale, la préférence signifie l'ordre ou l'arrangement que les consommateurs attribuent aux biens ou aux services en fonction de leur niveau subjectif de satisfaction.

    Voici quelques comparaisons essentielles à noter :
    • Alors que l'utilité cardinale est mesurée en termes numériques exacts, l'utilité ordinale est mesurée en termes de classement ou d'ordre de préférence.
    • L'analyse de l'utilité cardinale utilise le concept d'une unité de satisfaction mesurable appelée "utils". En revanche, l'utilité ordinale n'a pas de concept d'utilité.
    • L'utilité marginale de l'argent est constante dans l'utilité cardinale. Cependant, cette hypothèse n'est pas faite dans l'utilité ordinale.
    • L'utilité cardinale est au cœur de l'économie traditionnelle, tandis que l'utilité ordinale sous-tend l'approche moderne, plus approfondie, du comportement économique.
    Ces différences ne sont pas établies arbitrairement mais reflètent la divergence fondamentale de méthodologie et de perspective entre les théories de l'utilité cardinale et ordinale. Les deux théories, malgré leurs différences, fournissent conjointement un cadre solide pour comprendre le comportement des consommateurs et la dynamique du marché.

    Approche cardinale et approche ordinale de l'utilité : Une étude approfondie

    Dans le domaine complexe des études commerciales, les processus de prise de décision dépendent souvent de la compréhension de théories clés telles que les approches de l'utilité cardinale et ordinale. Ces théories, riches en méthodologie et en applications, ajoutent non seulement de la profondeur à l'étude des affaires et de l'économie, mais améliorent également la compréhension de la dynamique du marché et du comportement des consommateurs.

    L'approche cardinale de l'utilité et ses exemples concrets

    Au cœur de l'approche de l'utilité cardinale se trouve l'idée que la satisfaction des consommateurs, ou "utilité", peut être mesurée numériquement. Cette utilité mesurée est souvent exprimée en "utils", une unité hypothétique de satisfaction. Il est essentiel de noter que l'utilité est vécue subjectivement et qu'elle varie d'une personne à l'autre en fonction de ses préférences personnelles et de son revenu disponible.

    Dans l'approche cardinale de l'utilité, les utils sont la représentation numérique de la satisfaction du consommateur ou de l'utilité dérivée de la consommation de biens ou de services.

    La pierre angulaire de l'approche cardinale de l'utilité est la loi de l'utilité marginale décroissante. Ce principe, désigné par la formule \( U'(x) < 0 \), stipule que la satisfaction supplémentaire provenant de la consommation d'une unité supplémentaire d'un produit diminue généralement à mesure que la consommation globale augmente.

    Prenons par exemple l'acte de manger une barre de chocolat. La première barre apporte une immense satisfaction, jugée à disons 50 utils. Cependant, au fur et à mesure que tu consommes d'autres barres, la satisfaction ou l'utilité de chaque barre supplémentaire diminue, conformément au principe cardinal de la loi de l'utilité marginale décroissante.

    L'utilité cardinale trouve son application dans divers aspects du monde des affaires. Par exemple, les stratégies de fixation des prix sont souvent fondées sur la loi de l'utilité marginale décroissante. Le prix d'un produit doit s'assurer que les clients perçoivent suffisamment d'utilité pour justifier le coût, ce qui favorise les achats et l'engagement répété des clients.

    Comparaison de l'approche de l'utilité cardinale et de l'approche de l'utilité ordinale : Laquelle est la meilleure ?

    Comparer les approches cardinale et ordinale ne consiste pas tant à déterminer leur supériorité qu'à comprendre leurs avantages uniques et leurs cas d'utilisation potentiels. L'approche Cardinal Utility, avec sa perspective quantitative de l'utilité, permet une analyse méticuleuse du comportement des consommateurs. La satisfaction qui en découle peut être cartographiée numériquement, ce qui permet d'effectuer des analyses économiques telles que le calcul du surplus du consommateur ou la justification des courbes de demande.

    Le surplus du consommateur fait référence à la mesure économique de la satisfaction du consommateur, calculée comme la différence entre ce que les consommateurs sont prêts à payer pour un bien ou un service par rapport à son prix sur le marché.

    L'approche de l'utilité ordinale, quant à elle, renonce aux évaluations numériques de la satisfaction. Elle propose plutôt aux consommateurs de classer leurs préférences pour différents biens ou services. Cette approche est louée parce qu'elle reflète le comportement des consommateurs dans un scénario réel où les individus préfèrent généralement un produit plutôt qu'un autre, mais ne peuvent pas exprimer cette préférence de manière quantitative.

    Prenons l'exemple du choix d'un dessert au restaurant. La plupart des gens peuvent facilement classer leurs préférences - peut-être une tarte aux pommes plutôt qu'un gâteau au chocolat, et un gâteau au chocolat plutôt qu'une salade de fruits. Cependant, quantifier la satisfaction que procure chaque dessert comme avec l'Utilité Cardinale s'avérerait difficile dans la réalité.

    En termes d'hypothèses, l'utilité cardinale suppose que l'utilité est additive et mesurable, alors que l'utilité ordinale ne fait pas de telles hypothèses. Cette distinction essentielle sert souvent de toile de fond à la discussion sur la valeur comparative de ces théories. La différence la plus marquante découle peut-être de la méthodologie de chaque théorie. L'utilité cardinale applique des chiffres exacts et quantitatifs, ce qui permet des calculs précis. En revanche, la méthode de classement de l'utilité ordinale fournit une abstraction qui peut refléter de près la prise de décision dans la vie réelle. Ainsi, pour déterminer quelle approche "règne en maître", cela dépend principalement du contexte en question et du niveau de précision ou de réalisme requis pour comprendre les préférences et le comportement des consommateurs.

    Exemples pratiques d'utilité cardinale ou ordinale

    La compréhension des théories et des concepts dans les études commerciales est souvent améliorée par des exemples pratiques et réels. L'application des théories de l'utilité cardinale et de l'utilité ordinale à des scénarios quotidiens permet de comprendre de façon tangible leurs différences, leurs applications et leurs effets sur le comportement des consommateurs et la dynamique du marché.

    Exemples d'utilité cardinale ou ordinale dans la vie de tous les jours

    Au cours d'une journée, tu fais des choix en fonction de tes préférences et de l'utilité ou de la satisfaction que tu espères tirer de diverses alternatives. Ces choix, souvent faits inconsciemment, reflètent les principes énoncés dans les théories de l'utilité cardinale et ordinale. Considère, par exemple, un scénario dans lequel tu décides de passer ton après-midi de congé. Tu pourrais envisager différentes options comme aller au cinéma, faire une sieste, lire un livre ou simplement surfer sur Internet. Le plaisir ou l'utilité que tu tireras de chaque activité dictera ta décision finale. En suivant l'approche de l'utilité cardinale, tu pourrais théoriquement attribuer une valeur numérique à la satisfaction tirée de chaque activité. Disons qu'en "utils", lire un livre te donne 50 utils, aller au cinéma te donne 75 utils, faire la sieste te donne 30 utils et surfer sur Internet te donne 40 utils. Dans ce scénario, tu choisirais d'aller au cinéma en fonction du nombre d'utils le plus élevé, donc de l'utilité maximale. Mais cette affectation numérique peut ne pas refléter fidèlement la prise de décision dans la vie réelle. C'est là que l'approche de l'utilité ordinale entre en jeu. Au lieu d'attribuer des utils, tu classerais simplement les options en fonction de tes préférences. Tu pourrais préférer aller au cinéma plutôt que de lire un livre, lire un livre plutôt que de surfer sur Internet, et surfer sur Internet plutôt que de faire une sieste. Dans ce cas, ta décision d'aller au cinéma te procure toujours la plus grande satisfaction, mais le classement ne te dit pas "de combien" tu préfères une activité à l'autre.

    Comment les concepts d'utilité cardinale et ordinale fonctionnent-ils dans une économie de marché ?

    L'utilité cardinale et l'utilité ordinale ont toutes deux des implications significatives sur la façon dont les biens et les services sont évalués, tarifés et consommés dans une économie de marché. Prenons l'exemple d'un magasin de vêtements. Supposons que le magasin stocke trois types de pantalons : un mélange de lin, un velours côtelé et un jean. Dans le domaine de l'utilité cardinale, un consommateur pourrait attribuer des valeurs d'utilité à chaque type de pantalon. Il pourrait tirer 60 utils du mélange de lin, 50 utils du velours côtelé et 70 utils du denim. Cette mesure numérique influe désormais sur les décisions en matière de prix, affecte l'utilité marginale et joue un rôle dans la demande et l'offre sur le marché. Cependant, il est essentiel de tenir compte de la loi de l'utilité marginale décroissante, représentée par la formule \( U'(x) < 0 \). Ce principe affirme qu'à mesure que la quantité de pantalons que l'individu achète augmente, la satisfaction tirée de chaque paire supplémentaire diminue.

    Par exemple, pour la première paire de pantalons en jean, le consommateur peut ressentir 70 utils de satisfaction. Mais, à la troisième ou quatrième paire, la satisfaction supplémentaire peut s'être réduite à seulement 10 utils. Cette diminution de l'utilité pourrait amener le consommateur à changer de préférence et à choisir le mélange de lin ou le pantalon en velours côtelé.

    À l'inverse, l'approche de l'utilité ordinale donnera lieu à un scénario d'achat différent. Plutôt que de calculer la satisfaction en termes d'utilité, le consommateur organisera les types de pantalons en une liste de préférences. Il pourrait opter pour le denim plutôt que pour le mélange de lin, et pour le mélange de lin plutôt que pour le velours côtelé. Même s'il n'y a pas d'utilité numérique, l'ordre des préférences influence ses décisions d'achat et la dynamique générale du marché. Il est essentiel de comprendre qu'aucune des deux théories ne fonctionne de façon isolée. Les théories de l'utilité cardinale et ordinale fonctionnent en tandem, fournissant le cadre des habitudes de consommation, des pratiques commerciales et du fonctionnement du marché. L'approche cardinale offre une analyse quantitative et des perspectives économiques précises, tandis que la perspective ordinale offre un compte rendu plus qualitatif et sans doute plus réaliste de la prise de décision des consommateurs. Ensemble, ils incarnent le récit économique du choix et de la préférence, dictant le rythme de l'économie de marché.

    Le lien entre l'indépendance des alternatives non pertinentes et l'utilité ordinale ou cardinale

    Pour bien comprendre les différents concepts des études commerciales, il faut souvent relier différents principes économiques. L'indépendance des alternatives non pertinentes (IIA) et les théories de l'utilité ordinale et cardinale constituent l'une de ces paires de concepts qui partagent une relation complexe au sein de la théorie du choix du consommateur.

    Comprendre l'indépendance des alternatives non pertinentes

    En entrant dans le monde de l'économie, tu pourrais rencontrer un principe intrigant connu sous le nom d'Indépendance des alternatives non pertinentes (IIA). Ce principe affirme que si un consommateur a une préférence pour un bien plutôt qu'un autre, l'introduction d'une troisième option non pertinente ne devrait pas modifier la préférence initiale. En termes mathématiques, le principe IIA implique une stabilité des probabilités de choix lorsque les attributs ou la disponibilité des alternatives non choisies changent. Elle est à la base de divers modèles mathématiques en économie et constitue une hypothèse fondamentale pour certains théorèmes importants tels que le théorème d'impossibilité d'Arrow. Prenons un exemple pour éclairer le principe de l'AII. Si un consommateur préfère la pizza aux pâtes, la disponibilité ou la non-disponibilité d'une troisième option, disons la salade, ne devrait pas modifier cette préférence. Le consommateur devrait toujours choisir la pizza plutôt que les pâtes, indépendamment de la présence ou de l'absence de la salade. La salade devient alors une "alternative non pertinente".

    L'importance de l'indépendance des alternatives non pertinentes dans l'utilité ordinale par rapport à l'utilité cardinale

    Lorsqu'on essaie d'appréhender l'utilité ordinale et l'utilité cardinale dans le cadre de l'AII, la question n'est pas de savoir si ces concepts sont liés, mais plutôt comment ils sont liés l'un à l'autre. Dans le contexte de l'utilité cardinale, l'applicabilité de l'AII est moins cohérente que dans le cas de l'utilité ordinale. La théorie de l'utilité cardinale postule que l'utilité dérivée d'un bien peut être mesurée numériquement. Idéalement, en ce qui concerne l'utilité cardinale, l'introduction d'un produit supplémentaire ne devrait pas affecter les valeurs d'utilité explicites d'un consommateur pour les produits existants et leur classement. Cependant, dans les scénarios du monde réel régis par l'utilité cardinale, l'introduction d'un nouveau produit peut souvent permettre une meilleure échelle de mesure ou une meilleure résolution pour la fonction d'utilité. En effet, dans le cadre de l'utilité cardinale, l'utilité est quantifiable et peut varier en fonction de facteurs de définition ou d'échelle. En d'autres termes, l'introduction de nouveaux produits peut "étirer" ou "comprimer" l'échelle d'utilité globale, modifiant potentiellement les préférences des consommateurs et violant le principe de l'AII. Au contraire, lorsque l'on considère l'utilité ordinale, le principe de l'AII s'applique généralement. Dans l'utilité ordinale, le processus de prise de décision dépend largement du classement des préférences d'un individu. Il fait valoir que les consommateurs peuvent classer les biens ou les services par ordre de préférence, mais ne peuvent pas exprimer l'ampleur de leur satisfaction avec une précision numérique. Cet aspect rend l'utilité ordinale intrinsèquement conforme au principe de l'AII. Si tu préfères le thé au café, l'introduction d'une troisième option, comme le lait, ne devrait pas modifier ta préférence initiale. La raison réside dans l'hypothèse fondamentale de l'utilité ordinale, où les préférences sont cohérentes et présentent une transitivité, qui s'aligne sur le principe fondamental de l'IIA, créant ainsi un lien logique et transparent entre les deux concepts. Cette relation sous-jacente entre l'indépendance des alternatives non pertinentes et l'utilité ordinale et cardinale sert de guide pour naviguer dans le paysage dynamique de la théorie du choix du consommateur. La compréhension de cette relation met en lumière l'équilibre complexe des théories et des principes qui façonnent le comportement des consommateurs et qui, à leur tour, influencent les stratégies commerciales et les économies de marché.

    Utilité cardinale et utilité ordinale - Principaux points à retenir

    • La théorie de l'utilité cardinale repose sur des hypothèses telles que la rationalité du consommateur, l'utilité additive et mesurable, et l'utilité marginale constante de l'argent.
    • Dans la théorie de l'utilité cardinale, la satisfaction ou "utilité" peut être mesurée numériquement, généralement en "utils", et varie selon les individus en fonction de leurs préférences personnelles et de leurs capacités financières.
    • Un concept clé découlant de l'approche de l'utilité cardinale est la loi de l'utilité marginale décroissante, qui stipule qu'au fur et à mesure que la consommation d'un produit augmente, la satisfaction tirée de chaque unité supplémentaire diminue généralement.
    • La théorie de l'utilité ordinale, en revanche, repose sur des hypothèses telles que la capacité des consommateurs à classer leurs préférences de manière cohérente, la transitivité des préférences et la notion selon laquelle toute combinaison de biens est meilleure qu'aucune.
    • Dans la théorie de l'utilité ordinale, les consommateurs ne peuvent pas exprimer numériquement leur satisfaction mais classent leurs préférences de manière ordonnée. Cette théorie ne fait pas d'hypothèses sur l'utilité marginale constante de l'argent et n'emploie pas le concept d'"utils" mesurables.
    • Alors que l'analyse de l'utilité cardinale permet des évaluations et des calculs précis puisqu'elle associe l'utilité à des valeurs monétaires, l'analyse de l'utilité ordinale reflète davantage la prise de décision dans le monde réel puisqu'elle implique un classement des préférences sans évaluation numérique.
    • La compréhension des différentes approches et théories telles que l'utilité cardinale et l'utilité ordinale facilite les processus de prise de décision et améliore la compréhension de la dynamique du marché et du comportement des consommateurs.
    • Dans une économie de marché, les méthodes de l'utilité cardinale et de l'utilité ordinale ont des implications sur la façon dont les biens et les services sont évalués, tarifés et consommés. L'utilité cardinale, qui met l'accent sur les niveaux de satisfaction numériques, influence les décisions en matière de prix, tandis que l'utilité ordinale fournit un compte rendu plus qualitatif des choix des consommateurs, ce qui a un impact sur la dynamique globale du marché.
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    Questions fréquemment posées en Utilité cardinale Vs Utilité ordinale
    Qu'est-ce que l'utilité cardinale en économie ?
    L'utilité cardinale mesure le niveau de satisfaction en chiffres précis. Elle permet de quantifier la satisfaction d'un individu par rapport à la consommation d'un bien.
    Qu'est-ce que l'utilité ordinale en économie ?
    L'utilité ordinale classe les préférences des consommateurs. Elle ne quantifie pas la satisfaction, mais ordonne les choix du plus préféré au moins préféré.
    Quelle est la principale différence entre l'utilité cardinale et l'utilité ordinale ?
    La différence principale est que l'utilité cardinale quantifie la satisfaction avec des chiffres, tandis que l'utilité ordinale classe les préférences sans quantification précise.
    Pourquoi l'économie utilise-t-elle l'utilité ordinale plutôt que l'utilité cardinale ?
    L'économie préfère l'utilité ordinale car les préférences sont souvent subjectives et difficiles à quantifier avec précision en termes numériques.
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